Да, Риман знаком с работами Лобачевского, восхищен ими, хотя и не понимает, почему русский математик так легко отбросил «теорию тупого угла». Изыскания самого Гаусса и Лобачевского и побудили Римана включить в список тему «О гипотезах». Он много размышлял о так называемых «многократно протяженных многообразиях», а также о «теории тупого угла» Саккери и Ламберта. Неэвклидовых геометрий может быть несколько.
Гаусс заинтригован.
— Да, да, я обязательно приду на вашу лекцию, господин Риман. А мемуар Лобачевского все-таки возьмите, проштудируйте еще раз.
— Весьма признателен, господин тайный советник.
Каков тон! «Многократно протяженные многообразия»… Что бы это могло значить?
10 июня 1854 года в заседании философского факультета Геттингенского университета Риман прочитал вводную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Все, что он говорил, лежало на грани здравого смысла. Во всяком случае, профессора ничего не поняли. Многие из них, не будучи математиками, не восприняли то, что уже давно витало в воздухе, ожидая кристаллизации. Это была идея многомерной геометрии.
Риман глубоко усвоил достижения Лобачевского и Гаусса и пошел дальше.
Например, Риман выдвинул свой постулат: через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной параллельной линии к данной прямой! И создал свою геометрию.
В этой геометрии параллельных линий нет совсем, а сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых; различные перпендикуляры к прямой не параллельны (как в эвклидовой геометрии) и не pacxoдятся (как в геометрии Лобачевского), а пересекаются; все прямые — замкнутые линии. То, что в такой геометрии нарушаются и другие аксиомы Эвклида, а не только один пятый постулат, мало смущало Римана. А почему бы новой геометрии не иметь свои собственные аксиомы, отличные от эвклидовых?
Замкнутость прямой влечет за собой признание замкнутости, конечности плоскости, поверхности или пространства. На какой же поверхности реализуется эта диковинная геометрия? Оказывается, планиметрия Римана может быть истолкована при помощи обыкновенной геометрии на поверхности сферы.
Спрашивается: зачем было городить огород и открывать то, что давным-давно открыто Гауссом и другими? Ведь Гаусс уже создал геометрию кривых поверхностей, в том числе и сферы.
Но все дело в том, что Гаусс стремился понять законы внутренней геометрии той или иной поверхности, а Римана волновала загадка пространства. Он вслед за Лобачевским показал, что метрика пространства зависит от характера действующих сил. Эллиптическая геометрия может осуществляться не только на поверхности сферы, но и в трехмерном пространстве.
Что такое пространство? Почему пространство Лобачевского и пространство Римана отличается от эвклидова пространства? Что означает, к примеру, отклонение суммы внутренних углов треугольника от 180°? При измерении поверхностей оно означало меру кривизны той или иной поверхности. Но может ли быть искривлено пространство? Как это наглядно можно было бы себе представить?
Пространство, физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, неискривленным, эвклидовым! — вот к такому выводу приходит Риман. Мерой отличия любого пространства от эвклидова является кривизна.
Уже Лобачевский близко подошел к мысли о кривизне пространства. Он вопреки Ньютону считал, что в мире пустоты не существует; все тела в природе можно представлять частями одного целого — пространства. Пространство есть протяженность, присущая всем телам, кроме того, оно обладает структурой. Соприкосновение тел как форма их взаимодействия образует основу пространственных отношений. Может ли материальная протяженность быть искривленной? По-видимому, да. Как уже отмечалось, понятие кривизны поверхности — этого двумерного пространства, если мы не выходим за ее пределы, не является наглядным. Также не является наглядным и понятие кривизны трехмерного пространства. А выйти за его пределы мы не в состоянии, так как в природе не существует четвертого геометрического измерения. Во всяком случае, три измерения выражают всю полноту связи сосуществующих явлений.
Эвклидово пространство можно считать плоским, обладающим нулевой кривизной; пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, Римана — положительную.
— Какова же истинная геометрия физического пространства? Это можно установить только опытным путем, — повторяет Риман вслед за Лобачевским.