Кто же способствовал возрождению идей Лобачевского?
В Германии это были профессор гимназии Бальтцер, естествоиспытатель Гельмгольц; во Франции — профессор университета в Бордо Гуэль; в Италии — Баттальини, Дженокки; в Америке — ученый Гальстед; в Англии — Клиффорд; в Бельгии — Тилли; в России — профессора А. А. Летников, П. И. Котельников, Э. А. Кнорре, Ф. М. Суворов.
За первыми пропагандистами необычайного учения двинулась целая армия ученых.
Но триумфальное шествие учения Лобачевского началось после того, как итальянский математик Евгений Бельтрами показал, что внутренняя геометрия на псевдосфере совпадает с геометрией на куске плоскости Лобачевского. В обычном эвклидовом пространстве был найден реальный, наглядный двумерный геометрический образ, обладающий указанными Лобачевским свойствами.
Значит, неэвклидова геометрия может соответствовать реальным пространственным отношениям!
Открытие Бельтрами произвело сильное впечатление на умы, оно заразило всех математиков новыми идеями.
Что такое псевдосфера? Это поверхность типа граммофонного рупора или седла. Сумма внутренних углов треугольника на такой поверхности всегда меньше 180°. Следовательно, можно сказать, что псевдосфера обладает отрицательной кривизной. Кусок такой поверхности нельзя положить на стол так, как, например, кусок сферы, то есть чтобы поверхность касалась стола только в одной точке, — этому помешает седлообразная изогнутость. Псевдосфер существует бесчисленное количество. Из любой точки псевдосферы можно провести целый пучок кратчайших линий, не пересекающих данную кратчайшую. Таким образом, здесь справедлив постулат Лобачевского.
По замечанию академика П. С. Александрова, факт реализации геометрии Лобачевского на псевдосфере имел «не только первостепенное математическое, но и философское значение: геометрия Лобачевского не есть какое-либо умозрительное, ирреальное построение, ее законы осуществляются на поверхностях, лежащих в нашем реальном трехмерном пространстве».
На псевдосфере можно реализовать лишь геометрию части плоскости Лобачевского. Как показал еще в начале нашего века немецкий математик и логик Давид Гильберт, в эвклидовом пространстве не может существовать поверхности, на которой осуществлялась бы геометрия всей плоскости Лобачевского. А наглядный образ, соответствующий трехмерному пространству Лобачевского, отыскать вообще невозможно, так как пространство в нашей части вселенной носит эвклидов характер. Крупнейшие математики Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Софус Ли с помощью эвклидовых моделей для неэвклидовой геометрии Лобачевского с предельной строгостью показали ее непротиворечивость, продолжили вслед за казанским геометром логическое обоснование математики.
Началась новая эра в развитии естествознания.
К столетию со дня рождения Лобачевского его имя сделалось известным во всех уголках земного шара. Юбилей в Казани в 1893 году вылился в торжество науки. В комитет по сбору капитала имени Лобачевского вошли почетными членами ученые с мировой славой: Гельмгольц, Бельтрами, Пуанкаре, Клейн, Софус Ли, Сильвестр, Кэли, Эрмит и многие другие. Казанским физико-математическим обществом была учреждена премия Н. И. Лобачевского, великому геометру поставили памятник перед зданием университета.
К сожалению, на всех этих торжествах не могли присутствовать дети Лобачевского: у них не было денег на дорогу, а пригласить их за казенный счет организаторы празднования не догадались.
В Казани, ставшей колыбелью неэвклидовой геометрии, была также создана и неэвклидова механика, о которой Николай Иванович так много говорил с Петром Котельниковым. Такую механику создал сын Котельникова, известный математик и механик А. П. Котельников. Правда, это была пока некая абстрактная, чисто умозрительная механика, которая конкретного применения не могла иметь; и все же стало ясно, что классическая механика Ньютона является всего лишь частным случаем более общей новой механики и что теории механики мирового пространства должны строиться по замыслу Лобачевского.
Механика гиперболического пространства нашла свое приложение в теории относительности. Эйнштейн создал новую механику больших скоростей, по отношению к которой механика Ньютона является предельным случаем, соответствующим бесконечно медленным движениям.