В более позднее время положение, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, оспаривалось многими логиками. Это было связано с невозможностью применения данного принципа к несуществующим, неустойчивым или ненаблюдаемым объектам.
Первые современные многозначные логики создали независимо друг от друга польский логик Я. Лукасевич в 1920 г. и американский логик Э. Пост в 1921 г. Лукасевичем была предложена трехзначная логика, основанная на предположении, что высказывания бывают истинными, ложными и возможными, или неопределенными. Все законы трехзначной логики Лукасевича оказались также законами классической логики, однако обратное утверждение смысла не имело. Ряд классических законов в трехзначной логике отсутствовал. Среди них оказались закон противоречия, закон исключенного третьего, закон косвенного доказательства и ряд других.
Э. Пост, в отличие от Я. Лукасевича, подошел к построению многозначной логики исключительно формально. Он предложил следующие обозначения: 1 – истина, 0 – ложь, все же числа, находящиеся в промежутке между этими значениями, обозначают определенную степень истинности.
В настоящее время построен ряд систем многозначной логики и разрабатывается общая теория этих систем. Разработка систем многозначной логики имеет целью решение различных конкретных задач научного исследования, как общечеловеческих, так и специально научных. Например, трехзначная и четырехзначная логики высказывания Я. Лукасевича строились с целью создания модальной логики, трехзначное исчисление Д. А. Бочвара – с целью разрешения парадоксов классической математической логики. Следует также отметить приложение многозначной логики к обоснованию квантовой механики и к теории релейных схем.15 ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
В 1908 г. Л. Брауэром были заложены основания интуиционистской логики. Это направление неклассической логики основано на принципе интуиционизма.
Интуиционизм признает главным и единственным критерием правомерности методов и результатов логики ее интуитивную – наглядно—содержательную убедительность (интуицию). Данное понятие заключается в двух положениях:
1) процессе умственного построения всех логических объектов;
2) отказе от использования абстракции актуальной бесконечности.
Главным объектом критики интуиционистской логики стал классический закон исключенного третьего. Л. Брауэр полагал, что, возникнув в конечном множестве объектов, закон исключенного третьего впоследствии был распространен на бесконечные множества, в результате чего проверить, обладают ли все предметы определенным свойством или нет, не является возможным.
Еще одним важным положением интуиционистской логики было отрицание существования логики вне рамок математики. По мнению интуи—ционистов логика возникла вместе с математикой.
Чтобы избежать парадоксов, математическое доказательство должно основываться не на логической строгости, а на интуитивной очевидности: оно достоверно при условии интуитивного понимания каждой его ступени начиная
с исходных посылок и правил рассуждения. Таким образом, о применимости в доказательстве тех или иных законов логики в конечном счете также должна судить интуиция. Однако при этом интуиционизм не противопоставляет интуицию логике, а развивает понимание логики исключительно как части математики.
Одним из направлений интуиционистской логики является конструктивная логика. Основная идея конструктивной логики заключается в запрещении переносить на бесконечные множества принципы, верные для конечных множеств (например, положение о том, что целое больше частного). Само понятие «бесконечность» конструктивная логика также трактует отлично от классической. Если в последней бесконечность – завершенное понятие, то в первой она является потенциальной и становящейся. Для конструктивной логики характерно индуктивное построение объектов и логико—математических теорий в целом. В рамках конструктивной логики был разработан специальный прием исследования – конструктивный метод. Он противопоставлялся аксиоматическому методу и основан на так называемых рекурсивных определениях, связанных с математической индукцией. Однако на данный момент он находит применение только в построении конструктивных наук: логики и математики. Большой вклад в развитие конструктивной логики внесли российские ученые А. Н. Колмогоров, А.А. Марков, Н. А. Шанин.