Но семиугольник даст соотношения 1/7 и 6/7 – и то, и другое, диссонансы. Почему? По мнению Кеплера, ответ заключается в следующем: потому что пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, а вот семиугольник – нет. Циркуль с линейкой – это единственные разрешенные в классической геометрии инструменты. Но геометрия – это единственный язык, который помогает человеку понять работу божественного ума. Следовательно, те фигуры, которые нельзя построить посредством циркуля и линейки – такие как семиугольник, полигоны с 11, 13 или 17 сторонами – являются каким-то образом нечистыми, поскольку они противостоят интеллекту. Они incibilis – непостижимые, inefabilis, непередаваемые словами, non-entia, не сущностные. "Именно в этом заключается причина, - поясняет Кеплер, - почему Господь не использовал семиугольники и другие фигуры такого рода, чтобы украсить мир".
Таким образом, чистые первичные гармонии, а так же их отражения – музыкальные созвучия, производятся путем деления окружности с помощью способных к построению, правильных многоугольников; а вот "непередаваемые словами" многоугольники порождают негармоничные звуки, так что они не используются в схеме Вселенной. К навязчивой идее пяти совершенных тел теперь прибавилась подобного рода навязчивая идея совершенных многоугольников. Первые – это трехмерные тела, вписанные в сферу; последние – двухмерные формы, вписанные в окружность. Между ними двоими имеется интимная, мистическая связь: сфера, необходимо помнить, для Кеплера является символом Святой Троицы; двухмерная плоскость символизирует материальный мир; пересечение сферы и плоскости – круг – принадлежит двум основополагающим понятиям и символизирует двойную природу человека: тело и душу.
И вновь факты не укладываются в схему, и это следовало объяснять путем изобретательных рассуждений. К примеру, 15-сторонний полигон можно построить циркулем и линейкой, но он не порождает музыкальных консонансов. Более того, число полигонов, которых можно построить "по правилам" является бесконечным, но Кеплеру было нужно всего семь гармонических соотношений для своей шкалы (октава, большая и малая секста, квинта, кварта, большая и малая терция). Еще, гармонии следовало аранжировать по иерархии меняющихся степеней "познания" или совершенства. Кеплер посвятил этому фантастическому предприятию столько же усилий и трудов, как и определению орбиты Марса. Под конец, к собственному удовлетворению, он вывел все свои семь гармоний, путем применения некоторых весьма сложных правил, из правильных многоугольников. То есть, он проследил законы музыки назад, до замысла Верховного Геометра.
В последующих разделах Кеплер применяет свои гармонические соотношения ко всем предметам, которые только существуют под Солнцем: к метафизике и эпистемологии, к политике, психологии и физиогномике; к архитектуре и поэзии, к метеорологии и астрологии. И потом, в пятой – и последней – книге, он возвращается к космологии, чтобы завершить свое головокружительное строение. Вселенная, которую он выстроил в юности вокруг пяти совершенных тел, не совсем соответствовала наблюдаемым фактам. Теперь же он привлек двухмерную призрачную армию многоугольников на спасение своим осажденным телам. Гармонические соотношения каким-то образом должны были втиснуться между этими телами, чтобы заполнить щели и сгладить все несоответствия.
Но вот как следовало это сделать? Как гармонии могли быть прилажены в схему Вселенной, заполненную эллиптическими орбитами и неравномерными движениями, из которой, как могло показаться, вся симметрия и гармония были изгнаны? Как обычно, Кеплер доверяет читателю, и ради него "по косточкам" разбирает весь тот процесс, который привел его самого к решению. Поначалу он пытался приписать гармонические соотношения периодам вращения различных планет. После чего озадаченно написал: "Мы пришли к выводу, что Господь Творец не пожелал ввести гармонических пропорций в длительности планетарных годов" (Harmonice Mundi, книга V, глава 4).