Заметим, что свое решение Фибоначчи дал для взрослой пары кроликов. Если же решать задачу для новорожденной пары, то мы получим полный ряд Фибоначчи (15.6) и к концу года будем иметь 233 пары кроликов.
Но какое отношение задача о размножении кроликов имеет к золотому сечению? А вот какое. Если мы возьмем отношение последующего члена ряда (15.6) к предыдущему 
, то весьма скоро обнаружим, что это отношение с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ. В самом деле, 
Поэтому, глядя на рисунок, нетрудно убедиться (хотя не так-то просто доказать!), что
(15.8)
и наоборот,
(15.9)
Процесс асимптотического приближения отношения Uk+1/Uk к Φ напоминает затухающие колебания маятника.
'Генеалогическое древо кроликов' в задаче Фибоначчи. Общее число пар кроликов, так же как и число новорожденных пар, образует последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Рассмотрим цепную дробь
Обозначая эту дробь через х>0, нетрудно увидеть то же самое х в знаменателе первой дроби. Поэтому
откуда находим уравнение для х:
которое имеет единственный положительный корень
Итак, коэффициент золотого сечения Φ можно представить в виде цепной дроби
(15.10)
Для ряда Фибоначчи [Uk] отношение Uk+1/Uk последующего члена ряда к предыдущему с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ = (√5 + 1)/2
Выпишем подходящие дроби (см. с. 136) Цепной дроби (15.10):
Как видим, подходящие дроби, которые являются рациональными приближениями иррационального числа Φ, равны отношениям соседних чисел Фибоначчи 
Поэтому
Итак, отношение двух соседних чисел Фибоначчи является рациональным приближением коэффициента золотого сечения, т. е.
Именно таким рациональным приближением числа Φ и является интервальный коэффициент малой сексты (обращение большой терции 
, которым Гримм выражал отношение главных вертикалей Парфенона; см. с. 202). Другим примером рационального приближения числа Ф является отношение числа четвертей во второй и четвертой паре "проведение — интермедия" в фуге ре минор Баха (см. с. 165), которое в точности равно отношению 
. Еще раз обратим внимание на потрясающую точность (относительная погрешность составляет 0,06%!), с которой у Баха выполнен закон золотого сечения.
В 1843 г., через 641 год после открытия ряда Фибоначчи, определяемого рекуррентно через сумму двух предыдущих членов ряда, французский математик Ж. Бине нашел формулу для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера:
(15.11)
Пользуясь формулой Бине (15.11) нетрудно доказать, что
Наконец, укажем еще одно представление коэффициента золотого сечения Φ, полученное в начале нашего века:
(15.12)
Не правда ли, все формулы (15.10)- (15.12) отличаются особой красотой, простотой и изяществом!
Боттичелли. Рождение Венеры. Ок. 1483-1484. Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его 'Венера'. Неповторимо нервное изящество боттичеллиевских линий и болезненная хрупкость его вытянутых фигур. Неповторима младенческая чистота Венеры и кроткая печаль ее взора. Неповторим льнущий к телу клубок золотых волос Венеры, в котором, как в клубке змей, таится роковое коварство этого безгрешного существа. Но для неоплатоника Боттичелли его Венера, так же как и для неопифагорейца Поликлета его Дорифор,- это воплощение идеи универсальной гармонии золотого сечения, господствующего в природе