Что представляет собой гамма внутри октавы, каково ее математическое строение? Этим вопросом мы занимались практически на протяжении всей второй части. В главе 9 мы показали, что равномерно-темперированная гамма — основа сегодняшней музыки — есть не что иное, как геометрическая прогрессия со знаменателем 
Но ведь именно в геометрической прогрессии достигается соразмерность частей и целого, именуемая гармонией. Таким образом, гамма в пределах октавы также есть упорядоченная по законам математики последовательность звуков, которая в силу октавного подобия звуков является основой основ музыки. Не случайно Пифагор придавал огромное значение построению именно этой части музыкальной шкалы (см. эпиграф к гл. 6).
То же самое мы наблюдаем и в архитектуре. Из бесконечного многообразия соотношений между частями и целым в архитектурных шедеврах непременно заложена какая-то математическая закономерность, позволяющая отобрать и упорядочить эти отношения. В основе построения архитектурной формы лежит некоторый математический закон — закон пропорционального строения этой формы. В качестве такого закона в силу особых математических свойств (см. гл. 15) часто выступает геометрическая прогрессия — ряд золотого сечения или его производная — модулор Ле Корбюзье, а также функция золотого сечения или парные меры 1:√2 или 1:√5 Эти математические закономерности гармонизируют размеры сооружения, определяют его соразмерную структуру. Разумеется, как в музыке, так и в архитектуре пропорциональная шкала — это только "эстетический фундамент" архитектурного произведения, который никак не сдерживает творческой фантазии автора.
Заметим, что проблема гармонизации частей и целого давно уже перестала быть прерогативой лишь музыки или архитектуры. Повышение эстетических качеств промышленных изделий, придание им красивой формы и одновременно их стандартизация — одна из важнейших задач технической эстетики. Естественно, что решается эта задача на базе того же математического аппарата.
Чтобы связать части целого единым пропорциональным отношением, строятся так называемые ряды предпочтительных чисел (R), которые являются не чем иным, как геометрическими прогрессиями. В качестве знаменателей таких прогрессий выбирают степени числа 10. При этом сами степени в свою очередь образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1/2: 1/5, 1/10, 1/20, 1/40. Так получаются инвариантные гармонические ряды:
что каждый предыдущий ряд "вложен" во все последующие. Кроме того, поскольку 103/10 = 106/20 = 1012/40 = 1,9951≈2, то в ряду R10 происходит удвоение чисел через каждые 3 члена, в ряду R20 — через 6 членов, а в ряду R40 — через 12 членов. Исходя из этого свойства значения предпочтительных чисел " округляются.
Отметим одну любопытную деталь. Так как 
то с достаточной степенью точности можно сказать, что ряд R40 лежит в основе равномерно-темперированного строя:
Преимущества гармонизации с помощью ряда предпочтительных чисел (геометрической прогрессии) перед обычным рядом чисел (арифметической прогрессией) очевидны из простого примера. Если стороны прямоугольника а и b увеличивать в геометрической прогрессии (аn = aqn, bn = bqn), то пропорции прямоугольника будут сохраняться: 
более того, 
Арифметическая прогрессия (an = a + nq, b = a + nq) не сохраняет пропорции прямоугольника: 
, причем 
т. е. форма прямоугольника будет приближаться к квадрату. Свойство геометрической прогрессии сохранять пропорции ее членов было использовано еще в 1805 г. во Франции для упорядочения типографских шрифтов.
Изменение сторон прямоугольника с помощью геометрической прогрессии сохраняет его пропорции (а), а с помощью арифметической прогрессии искажает их (б)
Отметим еще одну геометрическую прогрессию, имеющую непосредственное отношение к этой книге. Сегодня во многих странах, в том числе и в нашей, применяется стандарт, введенный в начале века немецким ученым Портсманом. Портсман выбрал отношение сторон прямоугольного листа бумаги а:b из условия, чтобы при складывании (фальцовке) эта пропорция сохранялась, т. е. a:b = b:a/2 (см. рис.). Решая это элементарное уравнение, находим: а:b = √2. В качестве исходного формата был выбран лист площадью 1 м2 со сторонами 1189X841 мм (√:1), а затем найдены и его доли: 1/2 м2 = 841Х594 мм; 1/4 м2 = 594Х Х420 мм; 1/8 м2 = 420Х297 мм; 1/16 м2 = 297X210 мм — лист для пишущей машинки; 1/32 м2 = 210X148 мм; 1/64 м2 = 148X105 мм — формат почтовой открытки. Так был построен основной ряд форматов бумаги RA. Существуют также и производные от этого ряда.