Вера египтян в универсальность математического знания отражена в одном из математических папирусов, который начинается словами: "Точное сложение — врата в знание всех вещей и мрачных тайн". А вера в универсальность канона доходила до того, что один и тот же канон египтяне применяли как в живописи, так и в архитектуре. Сетка квадратов, применявшаяся с равным успехом и в ваянии, и в зодчестве, была у египтян математической основой, организующей изображение. Меняться могли лишь абсолютные размеры этой сетки, само же изображение, его пропорции оставались неизменными.
Сетка квадратов 211/4 X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве
Сетка квадратов 211/4X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве
Но и внутри сетки положение фигуры строго регламентировалось математическими законами. Рассмотрим одно геометрическое построение, которое, как полагают, было известно древним египтянам. Стороны квадрата ABCD разделим в золотой пропорции точками Еi (i = 1, 2,..., 8). (Это легко сделать, разбив данный квадрат на четыре квадрата и в каждом двойном квадрате выполнив построения, указанные на рисунке, с. 265.) Из вершины квадрата проведем в точки деления по две "диагонали". В результате образуется восьмиконечная звезда, внутри которой заключены два малых квадрата, образующих звездчатый восьмиугольник. Соединяя через одну точки пересечения малых квадратов, построим меньший квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. В последнем квадрате всю процедуру можно повторить. Таким образом, получится созвездие вписанных друг в друга восьмиконечных звезд, столь же красивое, как и созвездия пятиконечных и десятиконечных звезд, которые мы наблюдали на рисунках (с. 206).
Не будем перегружать рисунок дополнительными построениями и лишать любителей математики удовольствия самим найти на чертеже две гаммы треугольников, подобных прямоугольным треугольникам АВЕ2 и AFH. Отметим лишь, принимая сторону исходного квадрата за единицу, главное. В ΔАВЕ2 АВ = 1, BЕ2 = φ, АЕ2 = √1 + φ2 = ψ. В ΔABF ~ ΔАВЕ2
AF = 1/ψ, BF = φ/ψ, AB = 1. Из ΔABF и ΔBFG, имеющих общую сторону BF, можно найти элементы ΔBFG: BF = φ/ψ, FG = φ/2ψ ,BG = ψ/2, а значит, и элементы ΔAFH: AF = 1/ψ, FH = 1/2ψ, АH = ψ/2φ. (Напомним, что φ = (√5 — 1)/2 и при выводе соотношений в треугольниках используется аддитивное свойство ряда золотого сечения: 1 = φ + φ2, φ = φ2 + φ3, ... .)
Продолжая рассмотрение подобных треугольников, легко увидеть, что отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔABE2, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию :
(19.1)
а отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔAFH, образуют прогрессию:
(19.2)
Кроме того, имеют место комбинации двух основных типов прогрессий, а именно прогрессии вида
(19.3)
Итак, построения рисунка дают нам не только ряд золотого сечения (19.2), но и гамму геометрических прогрессий вида
(19.4)
соответствующие члены которых также находятся в золотой пропорции.
Любопытно, что в 
Заметим также, что в
Таким образом, меньшие углы в треугольниках ΔВЕ2 и AFH почти равны; следовательно, эти треугольники почти подобны, а углы исходного квадрата делятся "диагоналями" почти точно на три части. Итак рассмотренное построение дает нам прекрасный пример приблизительной симметрии (см. гл. 4).
Созвездие восьмиконечных звезд, вписанных в квадрат, содержит целую гамму золотых пропорций и использовалось древнеегипетскими художниками в пропорциях человека
Математическое построение древнеегипетских рисунков на базе восьми пропорциональных величин (по Ф. де Кора). Фигурки жреца (а) и богини Ночи (б)
Интересно, что... Впрочем, достаточно. Оставим радость открытия любителям математики, тем более что у любителей искусства, видимо, давно уже созрел вопрос: "А какое отношение вся эта геометрия и алгебра имеют к теме нашего разговора — пропорциям человека?" А вот какое.