Теорема Дезарга. Пусть ABC и А'В'С — два треугольника (необязательно лежащие в одной плоскости), такие, что прямые АА', ВВ' и СС', соединяющие соответственные вершины треугольников, сходятся в одной точке S. Тогда точки пересечения соответственных сторон этих треугольников АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' лежат на одной прямой. Плоский вариант теоремы Дезарга, как и теоремы Паппа и Паскаля, отнюдь не очевиден, тогда как ее пространственный вариант настолько прозрачен, что просто удивительно, как художники Возрождения, так много занимавшиеся теорией перспективы, не "заметили" его.
Плоский (а) и пространственный (б) варианты теоремы Дезарга
В самом деле, пусть треугольник ABC лежит в горизонтальной плоскости Т, треугольник А'В'С' есть его изображение на картинной плоскости К и точка S — центр проектирования. Прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников,- это "лучи зрения", а ΔА'В'С есть сечение "пирамиды зрения" с основанием ABC и вершиной в точке S. Соответственные стороны АВ и А'В' расположены на грани SAB "пирамиды зрения", т. е. лежат в одной плоскости и пересекаются в некоторой точке L. Но точка L одновременно принадлежит прямым АВ и А'В'. Значит, она одновременно принадлежит плоскости Т и плоскости К, т. е. лежит на линии пересечения этих плоскостей — прямой tt. Аналогично доказываем, что и точка пересечения сторон АС и А'С (точка М) и сторон ВС и В'С (точка N) лежат на той же прямой tt. Следовательно, все три точки L, М, N лежат на одной прямой. Пространственная теорема Дезарга доказана.
Для доказательства плоской теоремы Дезарга достаточно ΔА'В'С', лежащий в картинной плоскости К, спроектировать на плоскость Т из двух центров проекции S и S1 определяющих прямую S1 S'. В результате на плоскости Т мы получим два треугольника: ABC и А'В'С. Поскольку прямые S1A" и SA лежат в одной плоскости, то точки А" и А будут лежать на одной прямой S'A — линии пересечения этой плоскости с плоскостью Т (аналогично для точек В" и B, а также С" и С). Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и А"В"С", пересекаются в одной точке S' т. е. удовлетворяют условию теоремы Дезарга. Для каждой из пар треугольников: ΔА'В'С' и ΔАВС, а также ΔА'В'С' и ΔА"В"С" -справедлива пространственная теорема Дезарга. Более того, так как в каждой паре этих треугольников имеется один й тот же ΔА'В'С', то всякий раз все три соответственные стороны этих треугольников будут пересекаться в одной точке. Так мы получим точки L, М и N, лежащее на прямой tt, т. е. придем к плоской теореме Дезарга.
Оба доказательства теоремы Дезарга настолько просты и изящны, что трудно было удержаться от соблазна привести их здесь. Но дело не только в этом. Мы доказали плоскую теорему Дезарга с помощью ее пространственного аналога, т. е. при помощи пространственных построений. Как показал в конце XIX века Д. Гильберт, без выхода из плоскости в пространство вообще невозможно доказать плоскую теорему Дезарга методами проективной геометрии (без привлечения метрических понятий). Следовательно, если задаться целью разрабатывать плоскую проективную геометрию лишь средствами плоскости, не используя пространство, то мы обязаны присоединить теорему Дезарга в качестве новой аксиомы этой плоской геометрии. Затем Гильберт показал, что, исключив "аксиому Дезарга", можно построить новую, так называемую недезар-гову, геометрию на плоскости. Так на протяжении веков раскрывалась чрезвычайно важная роль теоремы Дезарга в проективной геометрии.
К доказательству плоской теоремы Дезарга
Заканчивая краткое знакомство с тремя великими предтечами проективной геометрии, нельзя не отметить и ту глубокую связь между теоремами Паскаля и Дезарга, которая также была раскрыта лишь спустя столетия. Если взять два треугольника, удовлетворяющих условию теоремы Дезарга (такие треугольники называются гомологическими, т. е. сходственными), то всего существует 9 возможных точек пересечения их сторон. Три точки пересечения соответственных сторон, как следует из теоремы Дезарга, лежат на одной прямой. А вот остальные шесть точек пересечения всегда лежат на некотором коническом сечении, т. е. удовлетворяют теореме Паскаля! Заинтересовавшийся читатель может сам построить массу интересных конфигураций с гомологическими треугольниками.
Связь между теоремами Паскаля и Дезарга: из 9 возможных точек пересечения гомологических треугольников ABC и А'В'С' 3 точки пересечения сходственных сторон лежат на одной прямой (точки 1, 2, 3), а остальные 6 — на коническом сечении (гиперболе) — точки 4, 5, 6, 7, 8, 9