Если А, B, С, D, Е, F — любые точки конического сечения, то три точки пересечения двух противоположных прямых (сторон вписанного шестиугольника) инцидентны одной прямой. Теорема Паскаля
Если А, В, С, D, Е, F — любые прямые (касательные) к коническому сечению, то три прямые, проходящие через две противоположные точки (вершины описанного шестиугольника), инцидентны одной точке. Теорема Брианшона
Каков же был восторг Понселе, когда в теореме, двойственной теореме Паскаля, он увидел теорему, доказанную в 1806 г. его однокашником, студентом Политехнической школы Шарлем Брианшоном (1785-1864)! Однако в отличие от Брианшона Понселе доказывал эту теорему "автоматически". Это открытие утвердило Понселе в могуществе принципа двойственности.
Принцип двойственности: теорема Паскаля (а) и теорема Брианшона (б)
И в заключение вновь перейдем от математики к искусству. Рождению проективной геометрии во многом способствовали геометрические исследования художников Возрождения. А появившись на свет, проективная геометрия стала теоретическим фундаментом искусства перспективы. Важную роль при построении перспективных изображений играет теорема Дезарга. Мы остановимся на двух приложениях этой теоремы к теории перспективы.
Теорема Дезарга и способ архитекторов. Способ-архитекторов, который мы применили в предыдущей главе для построения перспективы интерьера комнаты и перспективы параллелепипеда (см. с. 282), состоит, по существу, в построении двух точек: точки схода изображаемой линии и точки пересечения этой линии с основанием картины. Зная эти две точки, мы можем построить перспективное изображение данной линии. Метод построения точки схода на перспективе был нами разобран на с. 279, доказательство его справедливости очевидно из рисунка на с. 281. А вот найти точку пересечения образа данной линии с основанием картины позволяет нам теорема Дезарга.
Обратимся для определенности к рисунку на с. 282. Прежде всего заметим, что любую фигуру, состоящую из прямых линий, можно разбить на соответствующее число треугольников. Рассмотрим треугольник ABC на плоскости Т (рис. б) и его перспективное изображение треугольник abc на плоскости К (рис. а). По теореме Дезарга соответственные стороны этих треугольников пересекаются в одной точке на основании картины tt. Именно поэтому в наших построениях мы продолжили сторону ВС до пересечения с линией основания tt в точке М (рис. б), а затем перенесли эту точку ни линию tt в плоскости К. Так мы нашли неизвестную нам точку пересечения образа линии ВС с линией основания tt (точка m на рис. а). Аналогично найдена и точка п. Зная точки пересечения m, a, n и их точки схода Fl и F2, легко построить перспективу прямоугольника ABCD.
Теорема Дезарга и недоступные точки схода. Случается, что при построении перспективного изображения художник, а еще чаще архитектор сталкиваются с такой трудностью: точка схода некоторой линии оказывается за пределами картины (чертежа). Покажем, как теорема Дезарга может помочь в этом случае.
Пусть на плоскости картины К даны две прямые а и b, идущие в недоступную точку схода (в качестве одной из таких прямых чаще всего выступает линия горизонта). Требуется через некоторую точку С∈К провести прямую с в недоступную точку схода. Выберем на плоскости К произвольную точку L и проведем через эту точку три произвольных луча l1, l2, l3. Лучи l1, и l3 пересекут прямые а и b в точках А, В и А', В' соответственно. Через точку С проведем прямые МА и СВ, пересекающие луч l2 в точках М и N. Наконец, проведем прямые МА' и NB' до пересечения в точке С'. Как следует из теоремы Дезарга, прямая с, проходящая через точки С и С', пересекается с прямыми а и b в одной точке, т. е. прямая с и является искомой прямой, идущей в недоступную точку схода.
Проведение прямой с в недоступную точку схода с помощью теоремы Дезарга
Мы познакомились с геометрическими методами отображения трехмерного пространства на плоскость картины. Методы эти составляют предмет изучения самостоятельной науки — начертательной геометрии, которая в свою очередь стимулировала развитие еще одной ветви математики — проективной геометрии. Но эти же геометрические методы живут полнокровной жизнью и в искусстве живописи. Они помогают художнику разрешать извечный парадокс искусства живописи: заставить зрителя в плоском холсте, покрытом красками, увидеть реальный трехмерный мир, окружающий человека. В разные эпохи эта "вечная" проблема живописи решалась по-разному, в том числе и разными геометрическими методами, в чем легко убедиться, прочитав следующую главу.