Произведение средних членов этой пропорции равно данному числу 2, а их разность 
меньше, чем разность нулевого приближения 2 — 1 = 1. Следовательно, 
можно рассматривать как приближенные значения 
.
(3/2 с избытком, 4/3 с недостатком ] .
Проделав ту же процедуру над первыми приближениями, получим вторые приближения:
причем
а затем — и третьи приближения:
причем
1,414216-1,414211=0,000005.
Поскольку данную процедуру можно повторять неограниченно, то ясно, что число иррациональное. Попутно мы убеждаемся в справедливости пифагорейской мысли о том, что чем больше целые числа в отношении, тем точнее они выражают иррациональное число (см. с. 96). Наконец, вспоминая, что значение равно 1,414213..., мы видим, что "музыкальный" метод Архита очень быстро сходится к точному значению и уже третье приближение дает пять верных знаков после запятой!
Но вернемся к нашим интервалам. Итак, октава делится на два неравных консонанса квинту и кварту, а квинта — на консонанс кварту и диссонанс тон. Тон-интервал и был принят за интервал между соседними по высоте звуками (ступенями) при построении пифагоровой гаммы. Здесь и находится ключ к построению лада. По мнению советского музыковеда Л. А. Мазеля, интервал квинты, разделенный на кварту и тон, является основным музыкальным элементом. Выбрав тон в качестве основной ладообразующей ступеньки, античным теоретикам осталось только отложить от основного звука 
, затем — еще один тон 
, а оставшийся интервал между вторым тоном и тоном кварты 
назвать полутоном
Название это вполне оправдано, так как деление тона-интервала пополам по формуле (6.12) дает 
т. е. полутон практически равен половине тона*. Так была получена основа всей древнегреческой музыки — тетрахорд — четырехструнный звукоряд в пределах кварты.
* (Интервал, тона (полутона) в теории музыки принят в качестве единицы арифметического измерения интервалов, а сами интервалы тона и полутона в отличие от их интервальных коэффициентов называют большой и малой секундами.)
Ясно, что имеется только три возможности для положения полутона в пределах тетрахорда, что и определяло характер и название тетрахорда:
дорийский: полутон — тон — тон;
фригийский: тон — полутон — тон;
лидийский: тон — тон — полутон.
Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу.
Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Мы уже выяснили, что октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки называли "гармония". Именно в античной теории музыки слово "гармония" обрело свое современное значение — согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получалось три:
Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон, разделительный тон обведен кружком. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона — полутон, 3 тона — полутон, или на белых клавишах фортепиано до-ре-ми-фа-соль-ля-cи-дo), а в дорийской и фригийской — почти натуральный минор*.
* ("Почти" потому, что в сравнении с натуральным минором (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской — повышена шестая.)
Пифагоров строй лидийской гаммы и его математические характеристики
Зная размеры интервалов, образующих, например, лидийскую гармонию и правила действия с ними, легко получить математическое выражение этой гаммы, т. е. построить ее пифагоров строй. Приняв частоту нижнего тона за единицу f1 = 1, oнаходим первый тетрахорд: f1 = 1, f2 = 9/8, f3 = 9/8*9/8=81/64, f4=4/3. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f5 = 3/2fl = 3/2, f6 = 3/2f2 = 27/16, f7 = 3/2f3 = 243/128, f8 = 3/2f4 = 2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем