Теорему об отношении объемов и площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара Архимид считал своим высшим достижением. По завещанию Архимеда чертеж этих фигур был выполнен на его могильном камне
Непреходящие математические свойства правильных многогранников (таблица) и их наивная физическая интерпретация по Платону
Еще более современным выглядит стремление Платона видеть элементы материи в виде правильных симметричных тел. Современная наука все глубже проникает в тайну того, что внешние проявления симметрии — от симметрии кристаллов и снежинок до симметрии молекул ДНК — есть следствие симметрии тех фундаментальных законов, которые управляют всеми процессами физического мира. Таким образом, то, что на заре цивилизации античные философы видели атомы в виде симметричных геометрических тел" должно вызывать не саркастическую усмешку, а, скорее, удивление.
Учения о четырех стихиях и гармонии сфер из античности перешли в средневековье. Народное творчество, фантазия средневековых алхимиков и воображение поэтов населили четыре Платоновы стихии мифическими существами — духами. Так появились подземные человечки — гномы или кобольды — духи земли; златокудрые русалки — ундины — с рыбьим хвостом вместо ног — духи воды; прекрасные существа, населяющие атмосферу, ростом не более дюйма с шапочкой из цветка на голове — сильфы или эльфы — духи воздуха; наконец, духи огня — саламандры, пляшущие в огне в виде ящериц. Страшные карлики-гномы охраняют подземные богатства, они сказочно богаты, любят дразнить людей, но чаще помогают им. Красавицы-ундины вечерами расчесывают на берегу свои пышные волосы. Однако они опасны, так как могут очаровать своей красотой и пением пылкого юношу и увлечь его в подводное царство. Танцы и музыка — любимое занятие эльфов, а если музыкант начнет играть мелодию эльфов, то он не сможет остановиться, пока не доиграет ее до конца. Знакомые с детства сказки Андерсена "Дюймовочка" и "Русалочка", сказка братьев Гримм "Белоснежка и семь гномов", комедия Шекспира "Сон в летнюю ночь", баллада Гёте "Лесной царь", поэма Жуковского "Ундина" и многие стихотворения многих авторов навеяны этими легендами. Так отжившая научная теория превращалась в красивую сказку.
Не менее популярным оставалось в средние века и учение о гармонии сфер. Вообще, считалось, что законы мироздания в основе своей являются музыкальными законами. Мысль эта прочно вошла в сознание не только средневековых ученых-схоластов, но и поэтов. Гармония сфер звучит в "Божественной комедии" великого Данте, написанной в начале XIV века:
Несмотря на увлечение Данте числовой мистикой, архитектура его бессмертной поэмы является непревзойденным образцом математической строгости. Поэма делится на три части: "Ад", "Чистилище" и "Рай". В каждой части — 33 песни, что вместе со вступительной песнью дает 100 песен — квадрат "священного" числа 10 (см. с. 94). В каждой части и каждой песне практически одинаковое число стихов (строк), а каждая часть заканчивается одним и тем же словом — stella (звезда, светило). Описываемое Данте мироздание построено на числе 9 — квадрате символа определенности числа 3: в Аду — 9 кругов, в Раю — 9 небес, семь кругов Чистилища и два уступа предчистилища также дают число девять и т. д.