"То, что нам сегодня удается понять на языке спектров,- это истинная музыка атомных сфер, созвучие целочисленных отношений, все возрастающие порядок и гармония при всем их многообразии — так восторженно отзывался о квантовой теории немецкий физик и математик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951).- ... Она представляет собой тот полный таинства инструмент, на котором природа исполняет спектральную музыку и ритмом которого она управляет строением атома и атомных ядер".
Итак, обыкновенная музыкальная гамма увлекла нас вслед за Пифагором, Платоном и Кеплером в путешествие по просторам космоса. Мы узнали, что "пифагорово пенье" услышали и физики XX века, но уже не в космосе, а в противоположной стихии — микромире. Но нам пора от "физических приложений" вновь вернуться к математическому содержанию музыкальной гаммы, которая таит в себе еще немало секретов.
8. Математический строй музыки
Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса.
В главе 6 мы получили пифагоров строй, т. е. математическое выражение интервальных коэффициентов, лидийской гаммы (6.14), или, в современной терминологии, пифагоров строй натурального мажора:
(8.1)
Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243 — полутон. Мы обнаружили также, что основные консонансные интервалы в пределах октавы — квинта и кварта — являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы. Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию:
октава/квинта = кварта/тон.
Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части; она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.
Прежде всего из (8.1) видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты до можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад (не случайно в таблице 1 на с. 107 имеется семь ладов — по одному на каждую из семи нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой — ниже), лиру также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие народные инструменты.)
Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т. е. иметь одинаковые высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками. Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон-интервал пополам на два полутона, т. е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова строя станет равномерной. Но вот тут-то и таилась основная трудность.
Дело в том, что половина тона 
в точности не равна полутону (256/243≈1,0545) (см. с. 105). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон 
т е заменить на него имеющиеся в (8.1) два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву (2), а чуточку выше: 
Интервал между октавой, полученной шагами по 12-равномерным полутонам и чистой октавой равен (9/8)6:2 ≈ 1,0136 и называется пифагоровой коммой*.
Представляя пифагорову комму в виде
мы получим еще один важный результат: 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам.
Но 
т. е. новый полутон содержал иррациональное число 
, которого пифагорейцы боялись как огня. Взять столь "некрасивое" число в качестве единицы измерения музыкальной гаммы было немыслимым для пифагорейцев: это противоречило всей философии целочисленных отношений. Поэтому пифагорейцы пошли другим путем: в качестве основы музыкальной гаммы они взяли квинту, "красивое" число 3/2.
* (Коммой (от греч. komma — отрезок) в музыкальной акустике называется интервал, не превышающий 1/9 целого тона. Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона