.)
Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:
Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с середины ряда 
и все получаемые звуки будем сводить в одну октаву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы). Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова "диез" 
при движении по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова "бемоль" 
при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак,
(8.2)
Как видим, двигаясь по квинтам вверх и вниз от основного тона, мы получили все ступени пифагорова строя (8.1), каждая из которых в свою очередь может быть повышена, понижена, дважды повышена или понижена и т. д. Процесс этот, к сожалению, бесконечен. Точного октавного повторения основного тона (до) мы так и не получим. (Легко видеть, что си-диез и ре-бемоль-бемоль совпадают с основным тоном (до) опять же с точностью до пифагоровой коммы.) Следовательно, и точно разделить октаву на целое число частей этим методом мы не сможем.
Таким образом, желая разделить пять тонов в (8.1) на полутона, мы получили, по крайней мере, 10 промежуточных звуков. Новый пифагоров строй примет вид (интервальные коэффициенты новых звуков для краткости опущены)
Какие из этих дополнительных звуков взять: с бемолями или диезами? Для музыкантов, играющих на инструментах с нефиксированной высотой звуков (скрипачей, например), эта проблема не стоит. Они берут и те и другие. В результате звучание скрипки становится более выразительным и контрастным, так как в ладе обостряются тяготения неустойчивых звуков к устойчивым. Этим во многом объясняется то "волшебное пение" скрипки, которое доступно только ей одной*.
* (Каким тонким является инструмент скрипка, убеждает простой пример из книги известного венгерского скрипача Карла Флеша "Искусство скрипичной игры": "Пусть на струне ля необходимо сыграть два звука ля и си-бемоль второй октавы. Разница между этими звуками равна 60 Гц. Расстояние на грифе — 2 мм, следовательно, на одно колебание струны приходится 1/30 мм. Предполагая, что ля взято чисто, и желая сыграть математически чисто си-бемоль, мы должны поставить палец в нужное место струны с точностью до 1/30 мм". Насколько же чувствительными должны быть слух и пальцы скрипача, чтобы отмерить расстояние с точностью до 1/30 мм (это 33 микрона)! )
Что касается инструментов с фиксированной высотой звуков, то введение десяти дополнительных звуков на семь основных слишком усложнило бы и сами инструменты, и игру на них. Тем более что и это не решало окончательно проблему и более тонкие построения требовали все новых и новых звуков. На сегодня в теории музыки известна масса строев с числом ступеней от 17 до 84! Но все они так и остались в кабинетах теоретиков. Практика же, руководствуясь мудрым критерием простоты (и красоты), оставила только пять дополнительных звуков: по одному в каждом из целых тонов. Они и стали черными (дополнительными) клавишами фортепиано.
Так в октаве стало 12 звуков. Поскольку каждая пара дополнительных звуков отличалась лишь на пифагорову комму (это легко проверить самостоятельно), то их попросту приравняли между собой (до-диез стал равен ре-бемолю и т. д.).
Такое приравнивание звуков с одинаковой высотой, но разными названиями в теории музыки называется энгармонизмом. Тонкости ладового звучания были принесены в жертву простоте. Инструменты же с числом звуков в октаве, превышающим 12, можно увидеть только в музеях. В московском Музее музыкальной культуры имени М. И. Глинки хранится рояль русского писателя, музыканта и музыковеда В. Ф. Одоевского (1804-1869), в каждой октаве которого имеется не 12, а 17 клавиш, настроенных согласно (8.2).
Квинтовая цепь пифагорова строя дала простой способ настройки инструментов с фиксированной высотой звуков: органов, клавесинов, фортепиано. От основного тона (сегодня по общему признанию им является звук ля первой октавы) откладывались семь октав — скелет музыкальной шкалы. Эти октавы заполнялись 12 звуками, полученными ходами по квинтам вверх и вниз. Какие из звуков взять за дополнительные — повышенные или пониженные,- особого значения не имело. Важно было другое: пифагорова комма оставалась внутри октавы. Ее можно было переместить в любое место октавы, но нельзя было сделать только одного: нельзя было от нее избавиться! И она продолжала портить кровь музыкантам на протяжении столетий. Почему?