Но то, что не смог сделать изощренный ум математика, сделала обыкновенная смекалка простого органиста...
9. Алгебра гармонии — темперация
...Звуки умертвив",
Музыку я разъял, как труп. Поверил
Я алгеброй гармонию...
XVIII век в истории музыки начался решительной победой рационализма века Просвещения над антично-средневековым музыкальным целомудрием. К 1700 г. немецкий органист Андреас Веркмейстер (1645-1706) осуществил смелое и гениально простое решение: он отказался от совершенных и несовершенных консонансов — квинт, кварт и терций, оставив в первозданной консонантной красе лишь одну октаву, и попросту разделил ее (геометрически!) на 12 равных частей. В результате пифагорова комма, которую до того времени нетронутой передвигали с места на место, также разделилась на 12 равных частей и стала незаметной. Так в музыке восторжествовала темперация (лат. соразмерность), а новый двенадцатизвуковой строй был назван равномерно-темперированным. Но по порядку...
Вначале, разумеется, были попытки улучшить чистый строй, который сохранял главный недостаток пифагорова строя: невозможность безболезненного перехода из тональности в тональность. Естественным желанием при решении этой проблемы было увеличить количество звуков в октаве. Посмотрим, что из этого выйдет.
Пусть мы настроили октаву в чистом строе от ноты до малой октавы (1) согласно (8.7). Затем повторим ту же процедуру от ноты ре (9/8), для чего 9/8 умножим последовательно на все интервальные коэффициенты чистого строя (нижние цифры в (8.7)). Проделаем эти построения от всех 7 основных нот чистого строя; при этом новые ноты, которые мы будем получать в следующей (первой) октаве, также будем учитывать, ибо у них, разумеется, должны быть октавные повторения в исходной (малой) октаве. В результате наших вычислений получим (новые ноты написаны красным, октавные повторения нот — синим):
Как видим, 7 основных нот дали нам 11 дополнительных! Итог не слишком радостный. Но процесс образования новых нот все-таки затухает: нота ре дала 4 новых ноты, ми — 3, фа — 2, соль — ни одной (!), ля и си — по одной. Теперь ту же процедуру нужно проделать с новыми одиннадцатью нотами, ибо раз мы хотим сделать все ноты равноправными, то они не должны составлять исключение. Затем — с вновь полученными (самыми новыми) и т. д. К счастью, процесс все-таки замкнется, но какой ценой! В результате получим 84 ступени в октаве! Кто будет играть на столь сложном инструменте?!
Сейчас трудно сказать, кому первому пришла идея равномерно разделить октаву (а вместе с ней и пифагорову комму) на 12 равных частей. Идея эта была подготовлена самой логикой развития музыкального строя и, как говорят в таких случаях, носилась в воздухе. Но изложение этой идеи мы находим опять-таки в энциклопедическом труде Мерсенна "Универсальная гармония". Здесь Мерсенн дал математическое описание нового строя и рассчитал его интервальные коэффициенты. Суть нового метода заключалась в следующем.
Мы знаем, что и пифагоров, и чистый строй не замкнуты, т. е. звук, полученный в результате 12 ходов по квинтам вверх или вниз, не является точным октавным повторением исходного звука, а отличается от него на пифагорову комму. На протяжении столетий наибольшее, что позволяли себе теоретики музыки,- это перегонять комму по гамме с места на место. Комма нетронутой блуждала по гамме и время от времени заявляла о себе в завывании "волков". Так вот, Мерсенн предложил сузить полутона так, чтобы они точно укладывались в октаву. Тем самым он равномерно распределил пифагорову комму по всем 12 полутонам, и она как бы "растворилась" в гамме: стала незаметной.
Для того чтобы разделить октаву (2) на 12 равных частей, в качестве нового полутона необходимо взять по формуле (6.12) интервал 
Следовательно, математическое выражение равномерно-темперированного строя будет предельно простым:
(9.1)
Если воспользоваться логарифмическими частотами и логарифмическими интервалами (6.13), т. е. прологарифмировать (9.1) по основанию 2, то математический строй (9.1) примет наиболее простой вид (интервал логарифмической октавы 0≤L≤1 будет арифметически разделен на 12 равных логарифмических полутонов (1/12)):
(9.2)
Проверим, что будет в новом строе с консонансами и прежде всего с квинтой. Темперированная квинта имеет интервальный коэффициент 27/12≈1,4983, который несущественно отличается от интервального коэффициента чистой квинты (3/2):