Разумеется, Бах слишком скромно оценивал свое произведение. Цикл прелюдий и фуг Баха занимает особое место в мире музыки. Это не просто один из бессмертных шедевров мировой музыки. Это настоящая энциклопедия полифонического искусства, его альфа и омега, настольная книга каждого мыслящего музыканта. Не случайно Бетховен называл "Хорошо темперированный клавир" своей "музыкальной библией", которую он изучал с раннего детства до глубокой старости. Да и сам Бах всю жизнь обращался к своему детищу и через 24 года написал вторую часть "Хорошо темперированного клавира", также состоящую из 24 прелюдий и фуг.
И все-таки является ли 12-звуковая равномерная темперация "абсолютной истиной" в музыке? Разумеется, нет! Спор Баха и Генделя продолжается. Музыкантов с особо тонким слухом раздражают "тупые" консонансы темперированного строя. Чайковский после отдыха на природе болезненно ощущал недостатки темперированной музыки, и прежде всего собственной. Известно, как мучился Скрябин, не находя в рояле чистых интервалов. В последние годы жизни Скрябин пытался сконструировать рояль с дополнительными тонами, но неожиданная смерть не позволила осуществить задуманное. Наш соотечественник и современник, крупнейший пианист XX века Святослав Рихтер признается, что он физически старается преодолеть темперацию рояля при помощи звукоизвлечения, придавая диезным и бемольным звукам, когда это нужно, различную тембровую окраску. Поиски новых равномерных темперации продолжаются. Разработаны 24-, 48- и 53-зву-ковые равномерные темперации. На каждую из них специально написана музыка и сконструированы музыкальные инструменты. Но все они практического распространения не получили. Возможно, новые темперации ждут еще нового Веркмейстера и нового Баха...
На этом можно было бы поставить точку. Но мы поставили многоточие, ибо у вдумчивого читателя должен возникнуть еще один вопрос: почему все-таки октава разделена именно на 12 частей? Это вопрос из области математики, и ответ на него содержится в решении задачи, которую мы сформулируем так.
Требуется разделить интервал октавы 1≤f≤2 на n геометрически равных частей 1 = f0≤f1≤f2≤...≤fn = 2, так, чтобы k-я точка деления приходилась на главный консонанс октавы — квинту, т. е. fk = 3/2 (0<k<n). Так как согласно (6.12) fk = 2k/n, то мы приходим к уравнению
(9.3)
Но левая часть уравнения (9.3) есть число четное при любых n и k, тогда как правая — число нечетное. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает, что уравнение (9.3) в целых числах решений не имеет. Одновременно мы можем сделать важный вывод: шкала равномерно-темперированного строя никогда точно не пройдет через квинту.
Будем искать в целых числах приближенные решения уравнения (9.3). Логарифмируя, представим это уравнение в виде
(9.4)
и, как говорят математики, найдем рациональные приближения иррационального числа 0,58505... Такие задачи в математике решаются с помощью цепных дробей, т. е. дробей вида
(9.5)
Здесь a1, а2, а3, ... — натуральные числа. Известно, что всякое число а∈[0; 1] можно разложить в цепную дробь (9.5), которая будет бесконечной, если число а иррациональное. Рациональные выражения
и т. д.
называются подходящими дробями цепной дроби (9.5), т. е. являются рациональными приближениями числа а.
Разложим число 
в цепную дробь. По определению логарифма имеем
(9.6)
Ясно, что х<1. Положим 
Тогда (9.6) примет вид
(9.7)
Легко видеть, что 1<y<2,так как при этом
Поэтому положим
Уравнение (9.7) преобразуется к виду
(9.8)
Очевидно, что 1<z<2, так как 
Следовательно, полагаем
Тогда уравнение (9.8) примет вид
(9.9)
Так как 
, то для u получаем оценку 2<u<3. Поэтому в (9.9) делаем подстановку 
и получаем
(9.10)
С помощью таблиц логарифмов или простой проверкой на микрокалькуляторе находим оценку для v:2<u<3. Наконец, сделаем еще одну замену 
отчего (9.10) примет вид
или
(9.11)
Для w справедлива оценка 3<w<4, поэтому 
Не будем более испытывать терпение читателей (процесс разложения иррационального числа в цепную дробь все равно бесконечен). А в качестве компенсации за длинные выкладки обратим внимание на то, что в наших приближениях (9.6) — (9.11) все время фигурируют музыкальные интервалы: октава (2), квинта (3/2), кварта (4/3), тон (9/8), полутон (256/243) и даже пифагорова комма ((3/2)12:27)!