Из решения (10.9), задавая нужным образом функции f(х) и g(x) и вычисляя интегралы, можно формально получить законы, которые экспериментально обнаружил английский ученый-энциклопедист Томас Юнг (1773 — 1829):
1. Если возбуждать струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает пучность и не может образоваться узел.
2. Если затормозить струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает узел и не может образоваться пучность.
Из первого закона Юнга следует, что если возбуждать струну, например, точно посередине, то в ней погасятся все гармоники, имеющие в этой точке узел, т. е. все четные обертоны. Значит, мы потеряем половину обертонов и звук станет блеклым. Ясно, что чем дальше от середины мы будем возбуждать струну, тем меньше первых, самых важных гармоник мы потеряем. Тембр звука от этого станет полнее и ярче. Вот почему смычок на скрипке, правая рука на гитаре, молоточки на фортепиано — все они возбуждают струну приблизительно на 1/7-1/10 доли струны от места ее закрепления. Делается это для того, чтобы не потревожить первые обертоны, а значит, не обеднить музыкальный звук. Что касается игры на скрипке флажолетами, то она основана на втором законе Юнга, который является обратным к первому закону.
Прежде чем расстаться с законами Юнга, скажем несколько слов об их создателе. Томас Юнг был удивительным человеком. " Всякий может делать то, что делают другие" — таков был девиз его жизни. И Юнг необычайно преуспел в исполнении этого нелегкого правила. Он был цирковым актером (акробатом и канатоходцем), авторитетным знатоком живописи, играл практически на всех су. Шествовавших в его время музыкальных инструментах, занимался расшифровкой египетских иероглифов, знал массу языков, в том числе латинский, греческий и арабский. И кроме всех этих "увлечений", Юнг получил блестящие результаты в науках: физике (волновая теория света), теории упругости (модуль упругости Юнга), оптике, акустике, астрономии, физиологии, медицине. Юнг написал около 60 глав научных приложений к знаменитой "Британской энциклопедии".
Рассмотрим подробнее основной тон струны. Вспоминая, что 
, получим формулу для частоты основного тона:
(10.11)
откуда легко увидеть законы колебания струны, которые экспериментально обнаружили еще древние греки и которые затем переоткрыл и описал в своей "Универсальной гармонии" Марен Мерсенн:
1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения частота колебания обратно пропорциональна длине струны (это не что иное, как "первый закон Пифагора — Архита"; см. с. 101).
2. При заданной длине и плотности струны ее частота пропорциональна корню квадратному из натяжения.
3. При заданной длине и натяжении частота струны обратно пропорциональна корню квадратному из ее плотности. (При постоянной плотности чем толще струна, тем меньше частота ее колебаний, т. е. тем ниже звук.)
Разумеется, все эти законы (по крайней мере, качественно) можно было установить на монохорде.
Но обратимся вновь к обертонам. Легко видеть, что частоты обертонов 
относятся как числа натурального ряда:
(10.12)
Таким образом, струна издает целый звукоряд тонов, называемый натуральным звукорядом. Теоретически натуральный звукоряд бесконечен. На практике же имеют значение первые 16 обертонов, так как остальные обертоны слишком мало отличаются друг от друга, обладают слишком малой энергией и фактически не слышны.
Натуральный звукоряд. Полагая ω1 = l, частоты натурального звукоряда выражаются натуральным рядом чисел (ωn = n). Натуральный звукоряд содержит все консонансы и все интервалы чистого строя
В самом деле, из (10.12) следует, что интервальный коэффициент двух соседних гармоник ωn и ωn+1 равен 
(n = 1, 2, 3, ...). Поскольку 
то мы легко приходим к выводу: с ростом номера п интервал между соседними гармониками натурального звукоряда уменьшается и в пределе стремится к чистой приме (унисону).
На рисунке показаны первые 16 гармоник колеблющейся струны, образующие натуральный звукоряд. Цифры справа обозначают частоты гармоник, считая ω1 = 1, а красная линия (гипербола) отсекает часть струны 1/n, которая колеблется с частотой ωn = n. Мы видим, что второй обертон и основной тон составляют интервал октавы ω2/ω1 = 2. Третий и второй обертоны — интервал квинты: ω3/ω2 = 3/2. Четвертый и третий — кварты: ω4/ω3 = 4/3. Пятый и четвертый — большой терции: ω5/ω4 = 5/4. Шестой и пятый — малой терции: ω6/ω5 = 6/5. Но ведь это есть не что иное, как набор совершенных и несовершенных консонансов! Таким образом, мы пришли к разгадке "закона консонансов" — "второго закона Пифагора — Архита" (с. 101 — 102): консонантные интервалы, которые математически выражаются отношением