Последовательное деление единичного отрезка в золотом сечении
Ряд золотого сечения
Розенов проанализировал "популярнейшие и наиболее излюбленные произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Вагнера, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения, живучесть которых является достаточным доказательством их эстетической ценности и широкой популярности". Остановимся на анализе Хроматической фантазии и фуги И. С. Баха, которые объединены общей тональностью ре минор и контрастны по жанру и образу. Хроматическая фантазия с фугой ре минор - одно из величайших творений Баха, образец совершенства формы и содержания, "могущественнейшее клавесинное произведение" (А. Н. Серов).
Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79*4 = 316 четвертных долей. Итак, "целое" а = 316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на арпеджированном доминантовом трезвучии с разрешением на 2-й четверти 49-го такта, на которой стоит знак ферматы (удлинение звука), и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48*4 + 3) четверти (а1 =195). Вторая часть, пишет Розенов, "состоит из ряда в высшей степени выразительных колорированных речитативов, то развивающихся по силе, энергии и размаху До гигантской мощи, то нежных и жалобных, то сердитых и запальчивых, то впадающих в необычную для той эпохи романтическую мечтательность". На вторую часть приходится 121 четверть (а2 = а-а1 = 316 — 195 = 121). Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим а1= аφ = 0,316-0,618 = 195,3! Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции :
Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения (12.4) при а = 316, имеем
316 195,3 120,7 74,6 46,1 28,5 17,6.
Каково же должно быть наше удивление, когда мы обнаружим, что на 124-й четверти находится кульминация первой части и стоит знак ферматы, а на 77-й четверти от начала второй части имеет место кульминация второй части! Таким образом, кульминация обеих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей точностью приходятся на точки золотого деления этих разделов! Наконец, Розенов нашел и более мелкие деления Хроматической фантазии в золотой пропорции, на которых мы не будем останавливаться.
Итак, Хроматическая фантазия, произведение свободного по форме жанра, буквально соткано из золотых пропорций! Пожалуй, эстетическое впечатление от математического анализа Хроматической фантазии имеет не меньшую силу, чем прослушивание бессмертного творения Баха. А взятые вместе — чувственное впечатление и рациональный анализ, безусловно, позволяют еще на один шаг приблизиться к сокровенным тайникам гения.
Главные золотые сечения Хроматической фантазии И. С. Баха. Цифры обозначают число четвертей теоретического ряда золотого сечения (а = 316). Справа дано описание соответствующих характерных мест нотного текста фантазии
Перейдем к анализу фуги. Фуга (от лат. fuga — бег) является наиболее совершенной формой многоголосной музыки (полифонии). Фуга строится на многократных проведениях (повторениях) основной музыкальной темы в разных голосах. Проведения основной темы обычно перемежаются в фуге с промежуточными вставками, называемыми интермедиями. Таким образом, фуга в отличие от фантазии имеет четко определенный закон построения. Но тем не менее точность "математического" построения фуги ре минор просто поражает!