Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF = AD = 1, полагая DB = x и, следовательно АВ = 1 + х, из (15.1) приходим к уравнению (12.1) при а = 1:
которое имеет единственный положительный корень
Поскольку
(проверьте это), то мы окончательно находим: x = DB = AE = EF =...= φ, AD = DC = CB = AF = ... = 1, ED = EG = ...= = 1 — φ = φ2.
Ряд золотого сечения 1, φ, φ2, φ3, ... в последовательности звездчатых пятиугольников (а) и звездчатых десятиугольников (б)
Повторяя наши рассуждения для треугольника DGH, в котором DG = y, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны φ3, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника — φ4. И т. д.
Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения (12.4) при а=1:
причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:
а стороны звезд — ряд нечетных степеней:
Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой х находится со стороной исходного пятиугольника AF = 1 в золотом отношении, т. е. 1/х = φ ⇒ 1/φ = (√5 + 1)/2 = Φ
Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид
или
(15.2)
Ряд (15.2) является геометрической прогрессией со знаменателем Ф. Однако из бесконечного множества геометрических прогрессий ряд (15.2) отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда:
В самом деле, поскольку 1 + Φ = Φ2 (проверьте это), то
(15.3)
Именно благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре, о чем мы подробнее поговорим чуть позже. А пока заметим, что вместо ряда (15.2) удобнее рассматривать две его "половинки":
возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем Φ≈1,618033988:
(15.4)
и убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ = Φ-1≈0,618033988:
(15.5)
Аддитивное свойство ряда (15.5) прекрасно иллюстрируется последовательностью вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пятиконечных звезд (см. с. 206): AD = AE + ED (1 = φ + φ2), DG = DK + KG (φ = φ2 + φ3) и т. д.
Итак, правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают массой интересных свойств:
1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции
2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пятиконечной звезды и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции
3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения (15.5), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем ф и обладает аддитивным свойством (φn = φn+1 + φn+2, n = 0, 1, 2, ...).
4. Отрезки пятиконечной звезды АВ = Φ, AD = 1, АЕ = φ и ED = φ2 связаны между собой всеми видами "древних" средних (5.1), а именно:
— арифметическое среднее;
— геометрическое среднее;
— гармоническое среднее.
В общем случае для четырех последовательных членов ряда (15.5) φn, φn+1, φn+2, φn+3 нетрудно доказать справедливость соотношения
5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник (например, ΔАВС на с. 206) получил название "возвышенного".
Подведем некоторый итог: мы выполнили обещание, данное на с. 204 и показали, что пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все "древние" средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.