Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Это легко сделать с помощью описанного нами метода Птолемея (см. с. 205), в котором отрезок ОА дает сторону правильного десятиугольника (докажите это). Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,- звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д. (см. рисунок на с. 206).
Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пятиконечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций. Действительно, прежде всего заметим, что треугольник АОВ является возвышенным, поэтому АВ:ОВ = φ, т. е. сторона правильного десятиугольника а10 относится к радиусу описанной окружности R в золотой пропорции а10:R = φ.
Далее, считая радиус исходной окружности R = l и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения (15.5) в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. В частности, на рисунке (б) ВС = φ, ОС = фφ2, поэтому ВС/ОС = 1/φ = Φ (тем самым мы погасили еще один "долг" и доказали, что на рисунке ( в, с. 202) B1C1/C1A1 = 0). Попутно мы чисто геометрическим путем доказали равенство
которое легко доказать и алгебраически, вспоминая формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
В нашем случае а1=φ2, q = φ, поэтому 
Заметим, что обнаруженное нами созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности и избавило от громоздких алгебраических выкладок.
Теперь становится понятным, почему именно десятикратное деление окружности было выбрано Месселем в качестве метода архитектурного пропорционирования. При десятикратном делении окружности легко получить весь ряд золотого сечения (15.5), который играет огромную роль в архитектурных пропорциях.
Рассмотренные нами геометрические свойства золотого сечения в числе других были с восторгом описаны в 1509 г. в книге монаха ордена францисканцев Луки Пачоли (ок. 1445 — ок. 1514) "О божественной пропорции". Пачоли приводит лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги. Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря "...о его третьем исключительном свойстве... о его четвертом невыразимом свойстве... о его десятом возвышенном свойстве... о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве...". Пачоли преподавал в различных университетах Италии и был талантливым педагогом. Любопытно, что хорошо известная каждому современному школьнику задача о трубах, наполняющих бассейн, описана в книге Пачоли "Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях", изданной в 1494 г.
Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. Ок. 1510. Справа изображен ученик Пачоли Гвидобальдо д'Урбино. Возможно, это автопортрет художника. В левом верхнем углу подвешен ромбокубооктаэдр — одно из тел Архимеда. Справа на старинном фолианте стоит додекаэдр
Рассмотрим теперь ряд золотого сечения (15.4)
и, пользуясь аддитивным свойством ряда, будем выражать степени Φn через Φ:
Легко видеть, что коэффициенты при Φ, также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел:
(15.6)
каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, т. е.
(15.7)
Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными или возвратными.
Последовательность (15.6) имеет древнюю историю. Она впервые была описана в 1202 г. в "Книге об абаке" итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу — Фибоначчи — сын доброй природы. С тех пор последовательность (15.6) называется рядом Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи. "Книга об абаке" Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. Значительную часть этого трактата составляли задачи, одна из которых гласила:
"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; ..." И т. д. В заключение Фибоначчи пишет: "...мы складываем первое число со вторым, т. е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых (пар.- А. В.) кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев".