Приняв определение логических значений из табл.1, можно ввести соглашение о том, что такое верное высказывание. Это такое утверждения, логическое значение которого есть истина (или 1 в наших обозначениях). И можно полагать, что логически безупречны те умозаключения, для которых соответствующие формулы истинны. Это дает представление о том, что такое логически правильные высказывания, но не предоставляет никакого правила для того, чтобы определить, как получать новые верные высказывания.
Чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие логического исчисления, которое как раз и является механизмом порождения верных высказываний. Логические исчисления можно построить различными способами. Мы выберем исчисление L, состоящее из трех аксиом:
A1: A É (B É A)
A2: (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C))
A3: (`B É`A) É ((`B É A) É B)
и единственного правила - modus ponens: формула В есть непосредственное следствие формул А и А É В.
Естественно, возникает вопрос, почему выбрано именно это исчисление, именно с такими аксиомами и правилом. Чтобы ответить на него, во-первых заметим, что аксиомы А1, А2, А3 превращаются в тождественно истинные высказывания при подстановках на места символов А, В, С любых формул. Таким образом, аксиомы нашего исчисления порождают лишь тождественно истинные формулы.
С другой стороны, правило modus ponens сохраняет истинное значение, т.е. если формулы А и А É В суть тождественно истинные, то формула В также тождественно истинна.
Таким образом, любые формулы, выведенные из аксиом, не нарушают свойства тождественной истинности. Следовательно, мы располагаем инструментом, с помощью которого можно получать новые верные формулы.
Для исчисления L известен такой результат: класс выводимых в нем формул и класс тождественно истинных формул совпадает. Более того, оказывается, что если добавить к аксиомам исчисления L не выводимую в нем формулу, то в результирующем исчислении оказываются выводимыми все формулы, которые можно описать средствами пропозиционального языка. В частности выводимо противоречие, т.е. формула A Ù `A, что, естественно, есть нарушение здравого смысла, так как в нем утверждается нечто и его отрицание.
Отметим бедность исчисления L, так как выводимые в нем конструкции суть лишь пропозициональные формулы. Поэтому в нем не выводимы аналоги суждений, например, о свойствах объектах. Чтобы включить в рассмотрение подобные формулы, расширим исчисление L за счет следующих аксиом:
А4: "xA(x) É A(t), где A(x) есть формула и t - терм, не содержащий переменных, которые в формуле A(t) связаны;
А5: "x(A É B) É (A É "xB) если формула А не содержит свободных вхождений переменной х;
и правила обобщения: из A(x) следует "xA(x).
Это исчисление, в отличие от пропозиционального, называется исчислением первого порядка, так как его сигнатура включает предикатные и функциональные символы.
Для расширенного исчисления также справедливо, что все формулы, получающиеся из аксиомных схем, являются общезначимыми и правила вывода исчисления L сохраняют общезначимость. Отсюда вытекает, что исчисление L непротиворечиво.
С другой стороны, можно показать, что всякая общезначимая формула первого порядка выводима в исчислении L.
Таким образом, исчисление L обеспечивает получение логически верных суждений, т.е. таких, которые являются истинными при любой интерпретации.
В отличие от пропозиционального исчисления, для исчисления первого порядка, возможно его непротиворечивое расширение: добавление формул, не выводимых в L не приводит к тому, что в расширенном исчислении класс выводимых формул включает противоречие. Такие исчисления называют прикладными.
Подобным образом, например, формируют описание прикладных областей: вначале задается отношения и функции предметной области, а затем вводятся аксиомы, описывающие отношения между ними. После этого изучают свойства подобных исчислений: описывают выводимые формулы, которые описывают свойства предметной области. К такому виду исчислений относится, например, формальная арифметика, если добавить к приведенному исчислению L аксиомы, описывающие действия сложения, умножения, и схему индукции.
Естественно возникает вопрос о выразительных возможностях прикладных исчислений. Это интересно с позиций представления сознательных действий каждого отдельного субъекта в виде формального языка, обладающего достаточно ограниченной базисной сигнатурой. Уместным выглядит допущение, что такой язык можно мыслить, как совокупность конструкций, наподобие исчисления первого порядка, обладающего сравнительно небольшой аксиоматикой и правилами получения новых объектов.