1.1. ПОГОВОРИМ О ЛОГИКЕ
Primus sapientiae gradus est
falsa intellegere.
Первая ступень мудрости –
это понимание ложного (лат).
Познание возможно лишь, когда мы имеем дело с истинностью или ложностью утверждений, а проблема истинности или ложности возникает лишь, когда понятия объединяется рамками одного суждения. Так, если сказать просто домашние тапочки, то в этом понятии нет ничего истинного или ложного. Когда же говорят: “Домашние тапочки вновь куда-то задевались”, то утверждается нечто истинное или ложное, так как речь идет об описании свойства конкретных домашних тапочек “куда-то задеваться”.
Под высказываниями будем понимать суждения, представленные в словесной форме. Сложные высказывания образуются из более простых с помощью определенных грамматических конструкций: союзов, частиц, добавочных слов и т.п. В силу формального характера логики, истинность сложного высказывания определяется только истинностными значениями его составных частей.
Но высказывания сами по себе суть лишь синтаксические конструкции и представляют собой символические последовательности. Нас же интересуют их логические значения, т.е. истинность или ложность при их интерпретации в реальном мире. В связи с этим естественно возникают два истинностных значения: истина, которую обозначим 1, и ложь, которую обозначим 0. В результате каждое высказывание определяет некоторое отображение (логическую функцию), ставящее в соответствие значениям ее составных частей, истинностное значение всего высказывания.
Пример. Разберем высказывание: “Если {Наташа [не (получит тройку по математике)]}, то (она пойдет с братом в цирк)”. Это составное высказывание, простые части которого заключены в скобки. Для его образования использовалась частица не - для получения отрицательного высказывания не (получит тройку по математике), и слова если ... то ... для образования всего высказывания (которое в силу этого имеет вид условного высказывания или импликации).
Кроме истинности или ложности высказываний имеет значение и получение новых истинных высказываний из уже имеющихся (т.е. построение правильных заключений из посылок). Тем самым важны типы умозаключений, которые позволяют переходить от одних высказываний к другим с сохранением истинности последних.
Таким образом, центральными логическими понятиями являются интерпретация и умозаключение. При этом умозаключение можно представлять, как идеальный объект, подчиненный законам логики, а интерпретация - устанавливает связь между высказываниями и реальным миром. Поэтому интерпретация предметна.
Мы изложили неформальный базис математической теории логики (или по-другому - математической логики): простым высказываниям в соответствие ставятся логические переменные, сложным - формулы, образованные из переменных с помощью логических связок. Последние представляют собой формальные аналоги содержательных грамматических конструкций, служащих для образования сложных высказываний.
Перейдем к формальному описанию логического языка. Для этого введем бесконечное множество {p1, p2, p3, ...} логических переменных.
Логические (здесь пропозициональные) формулы строятся из переменных с помощью связок Ù - конъюнкции, Ú - дизъюнкции, É - импликации, Ø - отрицания следующим образом.
1. Переменные суть формулы.
2. Если A и B суть формулы, то A B, ØA, где Î {Ú, Ù, É} также формулы.
Для обозначения произвольных формул используются большие буквы A, B, C, ... , X, Y, Z, W (возможно, с индексами). Таким образом, высказываниям соответствуют формулы, записанные на языке переменных и связок (или по-другому - в базисе <Ù, Ú, É, Ø>).
Пример. Конструкции (A É B) Ù (C É X), (A Ú B)É C, (x É y) É (Øy É Øx) суть формулы.
Теперь уместно поставить вопрос о логических значениях, которые имеют формулы в зависимости от значений их переменных. Истинностные значения формул вычисляются в соответствии с таблицей истинности (табл.1) и способом их образования.
Таблица 1
А
В
А Ù В
А Ú В
А É В
ØА
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
Таким образом, каждая формула A, содержащая n переменных, определяет функцию A: {0,1}n ® {0,1} (будем обозначать ее тем же символом), которая задается, как показано в табл.2. Здесь в левом столбце перечислены все 2n различных бинарных наборов, i-й сверху набор s1s2...sn представляет собой двоичное разложение числа i, а в правом - значение этой функции, которое она принимает на i-м наборе значений всех своих переменных.
Таблица 2
N
S1 s2 ... sn
A(s1, s2, ..., sn)