Пример. Когда вы слышите длинную фразу, то вам необходимо некоторое время, чтобы понять ее смысл, т.е. сопоставить с множеством реальных или идеальных, но признаваемых вами как реальные, ситуаций, фактов, объектов. Семантика естественного языка всегда учитывает реальные или признаваемые реальными объекты, предметы, события, факты и отношения между ними, поэтому она объективна. Тем самым, естественный текст лишь тогда интерпретируем в терминах реального мира, когда он не содержит внутреннего противоречия.
Теперь значение упомянутого результата становится ясным: отсутствие противоречия в содержании сознания (т.е. невозможность логически прийти к противоречию) эквивалентно реализуемости всей сознательной системы в предметном мире.
1.2. ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
A realibus ad realiora.
От реального к реальнейшему (лат).
Не представляет труда придумать такие суждения, которые нельзя представить на описанном пропозициональном языке. Таких большинство из используемых человеком: суждения с упоминанием пространственных или временных понятий, формулировки естественно-научных законов и математических теорем и пр. Поэтому для логического анализа подобных суждений требуется расширение пропозиционального языка.
Чтобы сформулировать новый язык, выделим в естественно-языковых конструкциях их базовые единицы - лексемы, и способы образования новых терминов. С этой целью в естественном языке выделяются три типа объектов: константы (этот стол, этот ботинок, этот дом), отношения между ними (выше, дальше, прямо, криво) и отображения (температура воды, высота горы, скорость автомобиля). Кроме того, в естественных текстах встречаются аналоги предметных переменных, т.е. неопределенные термины (некоторый стул, некоторый ботинок, некоторый дом). Указанного достаточно, чтобы определить базис нашего формального языка - так называемую сигнатуру.
Сигнатурой называется тройка множеств
S = ,
где rn, fk и cm - символы предикатов, функций и констант соответственно. Каждый предикатный и функциональный символ обладает определенной местностью, т.е. числом мест, на которые можно подставлять определенные аргументы.
Зафиксируем также некоторое счетное множество предметных переменных. Будем обозначать их буквами x, y, z, ..., возможно с индексами.
Введем правила образования новых объектов из функциональных символов и констант. Такими объектами являются так называемые термы, они образуют множество T(S) всевозможных суперпозиций функциональных символов и констант. Обычно термами представляются конструкции, так или иначе характеризующие те или иные предметы (высота дома, оттенок зеленого цвета листа смородины).
Обозначим FV(t) совокупность всех переменных, которые содержатся в терме t. Если FV(t)= Æ, то терм t фундаментальный, в противном случае свободный. Легко заметить, что фундаментальный терм соответствует конкретному объекту, свободный некоторому классу однотипных объектов.
Пример. Пусть сигнатура S = . Тогда конструкции f1(f2(x,y)) и f2(f1(x),y) суть ее термы. Обратим внимание, что функциональный символ f1 имеет местность 1, а символ f2 - 2.
Высказываниям естественного языка в языке первого порядка соответствуют формулы. Множество F(S) формул сигнатуры S определяется следующим образом:
1) если r есть предикатный символ местности n и t1, t2, ..., tn Î T(S), то r(t1, t2, ..., tn) есть так называемая атомарная формула сигнатуры S;
2) если A и B суть формулы сигнатуры S, то A B и ØA, где Î {Ú, Ù, É}, также формулы сигнатуры S;
3) если A есть формула сигнатуры S, x - предметная переменная, то "xA и $xA также формулы сигнатуры S. Символы "x и $x называются соответственно кванторами всеобщности и существования. Запись "x читается для всех x, а $x - существует x. При этом будем говорить, что квантор "x связывает переменную x, а квантор $y - переменную y.
Множество всех формул произвольной сигнатуры образует язык первого порядка данной сигнатуры. Как видно, его выразительная возможность существенно больше, чем у пропозиционального языка. Пропозициональные формулы являются частным случаем формул определенной сигнатуры. В них символы пропозициональных переменных - это нульместные предикатные символы, а множество функциональных символов пусто.
Пример. Пусть сигнатура S = . Тогда конструкции P1(f1(f2(х, у))), P1(х, у)Ú P1(у, х) и "x P1(х, х) É $y P1(х, у) суть формулы.