В
АÇВ
В
Х
А
Х
Х
Рис. 6а
Рис. 6б
Рис. 6в
Продемонстрируем, что содержательные операции объединения, пересечения и дополнения используются человеком в его объектных действиях, начиная с самого раннего детства.
Пример. Давай играть в мои и твои игрушки, так их будет больше, и нам будет интереснее (операция объединения). Ребенок легко собирает в одну корзину (здесь - множество), например, зайчиков и мишек, или автомобили и паровозы и т.п. Операция объединения используется им безо всякого затруднения, в силу ее очевидности.
Сравнительно легко он видит содержательное пересечение, что сводится к объединению свойств объектов. Хотя осознание пересечения происходит труднее, чем объединения, так как сводится к наделению объектов новыми свойствами: были двигающиеся игрушки, стали двигающиеся и чистые, или двигающиеся, которые можно взять с собой на прогулку и т.п. Это требует расширения сознания из-за необходимости анализировать, по меньшей мере, два признака. Тем не менее, когда число признаков невелико, ребенок справляется и с этой операцией.
Пример. Давай возьмем с собой все игрушки с колесиками из ящика твоих игрушек.
Наконец, содержательное дополнение также не вызывает у ребенка трудностей.
Пример. Ребенок может легко выделить из кучи игрушек те, которые не двигаются, или новые игрушки и оставить старые.
Таким образом, операции над множествами можно рассматривать как базисные для развивающегося сознания, так как лингвистические конструкции, которые используются для конструирования новых объектов, не что иное, как содержательное представление этих операций. По мере расширения сознания, становится легче оперировать базисными операциями, что видно по усложнению суждений. Затем появляется возможность включать в рассуждения идеальные объекты с реально не существующими свойствами.
Пример. Давай играть в мои и твои игрушки, но только те, которые ведут себя хорошо. Нетрудно видеть, что это условие задает сложное множество (“Мои игрушки” È “Твои игрушки”) Ç “Игрушки, которые ведут себя хорошо”.
Содержательные аналоги теоретико-множественных операций используются с самого раннего детства. Они становятся более адекватными по отношению к своим формальным аналогам по мере включения в сознание идеальных конструкций. Это объясняется тем, что точное понимание лингвистических конструкций предполагает знание подтекста и контекста.
Лингвистические конструкции, соответствующие выделенным операциям, суть следующие.
Объединению соответствуют конструкции, которые следует понимать, как нестрогая альтернатива (в логике это дизъюнкция), выражаемая часто союзом ИЛИ, но может быть и союз И в объединительном смысле (“твои и мои конфеты”). Перечислить все конструкции, которые в точности соответствуют объединению, затруднительно из-за необходимости учета контекста. Легко заметить, что их интерпретация наглядно представима как на рис.6а), если полагать, что А и В обозначают множества объектов, из которых строится новое множество, объединяющее все элементы из А и В.
Пересечению соответствует лингвистическая конструкции, приписывающие, например, несколько свойств одному объекту: бело-сине-красные флаг, быстроходная и скорострельная пушка. Иллюстрация таких конструкций по большей части также совпадает с приведенной на рис.6б.
Что касается дополнения, то в лингвистике ему соответствуют конструкции, имеющие смысл отрицания, что в большинстве случаев выражается частицей НЕ, словами НИКАКОЙ, НИГДЕ и т.п., т.е. конструкциями, имеющими смысл отрицания: это не веселый фильм. Геометрическая иллюстрация подобных лингвистических отрицаний в точности соответствует тому, что изображено на рис.6в).
Введем еще два отношения. В частности понятие включения Í одного множества в другое и равенства = множеств. Мы полагаем, что множества А и В находятся в отношении А Í В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (см. рис.6г). Два множества равны, т.е. находится в отношении А = В тогда и только тогда, когда каждый элемент одного множества есть элемент и второго, и наоборот - каждый элемент второго есть элемент первого. Легко увидеть, что множества А и В равны тогда и только тогда, когда выполняются оба включения: А Í В и В Í А.
В
А
Рис. 6г.
Следующие включения, непосредственно вытекают из определений: А Í А È В, В Í А È В, А Ç В Í А, А Ç В Í В. Представить эти отношения на объектном уровне весьма просто и их осознание происходит достаточно рано.