Пример. Давай возьмем не все мои игрушки, а только самобегающие и пойдем во двор (возникает выделение одного множества из другого).
Содержательный смысл включения сводится к проецированию свойств одной совокупности объектов на другие.
Пример. Если я буду вести себя хорошо, то папа возьмет меня в зоопарк. Здесь сопоставляются и соподчиняются определенные качества меня, который ведет себя хорошо, и посетителя зоопарка. Очевидно, что для осознания такого соподчинения необходимо относительно развитое сознание, так как требуется удерживать вниманием целую совокупность объектов и их свойств.
Лингвистическая конструкция, которая передает смысл отношения включения, в большинстве случаев выражается условными предложениями или аналогичными конструкциями: если это крокодил, то он обязательно летает. В этом примере, множество, состоящее из этого крокодила, включено в множество всего летающего.
Опишем связь теоретико-множественным и логическим формализмами. Для этого покажем, что из определений объединения, пересечения, включения и равенства вытекает ряд достаточно естественных равенств (А1) - (А5). Их интерпретация не вызывает затруднений с точки зрения здравого смысла.
(А1) А È В = В È А, А Ç В = В Ç А.
Равенства А1 не вызывают сомнения, так как естественны, и аналогичные им рассуждения используются уже в детских суждения очень часто.
Пример. Когда говорится: “Давай возьмем твои конфеты и мои игрушки”, то подразумевается множество, состоящее одновременно из моих конфет и твоих игрушек, а не вначале из моих конфет, а потом твоих игрушек. Или фраза: “Давай возьмем машинки и паровозики, в которых можно возить песок”, подразумевает именно те двигающиеся средства, которые обладают свойством перевозить песок и совершенно не подразумевается какой-либо приоритет паровозиков или машинок.
(А2) АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС, АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС,
В точности так же естественны равенства А2, так как их смысл состоит в том, что при объединении объектов и уточнении свойств не учитывается их порядок.
Пример. Оказывается, что все равно, взять игрушки Пети, а затем присоединить к ним игрушки Васи и Маши, или вначале взять игрушки Пети и Васи, а потом добавить к ним игрушки Маши. Это осознается в раннем возрасте, одновременно с возможностью дифференцировать предметы по каким-либо признакам. В точности так же совершенно безразлично как характеризовать свойства машинки - вначале то, что она красная, а затем, что она может катать куклу Барби, или вначале сказать, что надо взять машинку, на которой поедет Барби, а потом, что надо выбрать такую, которая нравится Барби - т.е. красную.
(А3) А Ç В Í В, В Í А È В.
Эти включения следуют непосредственно из определений объединения, пересечения и отношений включения и равенства. Не представляет труда привести высказывания, которые содержательно аналогичны этим включениям.
Понятно, что уточнение свойств объектов приводит к выделению подмножества.
Пример. Необходимо взять из ящика мои игрушки, которыми мама разрешает играть в песочнице. Происходит уточнение класса игрушек, т.е. выделение подмножества в результате уточнения свойств. С другой стороны, играть игрушками моими и Васиными интереснее, чем одними Васиными. Сопоставляются два множества, одно из которых есть подмножество другого, полученного в результате объединения.
(А4) А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С),
А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С).
Эти равенства вытекают из определений объединения и пересечения. Действительно, если некоторый элемент х принадлежит множеству А Ç (В È С), то он принадлежит множеству А и множеству В È С, или по-другому он принадлежит множеству А и множеству В или множеству С. Откуда вытекает, что он принадлежит одновременно множествам А и В или одновременно множествам А и С. Второе равенство доказывается аналогично.
Проиллюстрируем новое равенство. Так как пересечение понимается как уточнение свойств объектов, т.е.наделение объектов новыми свойствами, то фраза: «Я видел машинки братьев Васи и Миши» обозначает наделение новым свойством объединения множеств объектов. Эта фраза понимается так же, как: «Я видел машинки Миши и знаком с машинками его брата Васи». Содержательно эти две фразы построены по образцу левой и правой частей первого равенства.
(А5) А Ç -А Í В, В Í А È -А.
Содержательный смысл первого включения сводится к тому, что пустое множество включено в любое другое. Поэтому, например, расширение множества свойств объекта, за счет невозможного сочетания новых свойств, не изменяет этого объекта. Добавление не существенных свойств, не приводит к уточнению при дифференцировании класса объектов.