В точности так же, любое множество включено в универсум. Поэтому пересечение с универсумом есть выделение определенных свойств, т.е. дефиниция не вещи вообще, а вещи с конкретными свойствами. Поэтому содержательный смысл этого равенства сводится к тому, что для выделения объекта необходимо точное описание его свойств, так как дифференциация подразумевает именно уточнение свойств.
Последние два включения подтверждают тезис о расширении локальности сознания по мере развития субъекта. Действительно, сознание, не способное удержать в поле внимания несколько объектов, дифференцируя их, рассматривает уже небольшую совокупность как универсум, или добавление несущественных свойств как существенное изменение. Это подтверждают эффекты Ж.Пиаже.
Таким образом, если операции объединения, пересечения и дополнения и отношения включения и равенства рассматриваются над полем множеств, то их содержательные интерпретации вполне естественны. Более того, дети с их не развитым сознанием постоянно используют содержательные, и поэтому нечеткие аналоги этих операций и отношений.
Более точное, т.е. логическое использование этих операций и отношений приходит уже при достаточно развитом сознании, когда приходит способность оперировать идеальными объектами. И этот рубеж перехода от объектных представлений к уточненным есть признак формирования логического мышления. Рассмотрим теперь вопрос почему формируется именно логическое мышление, а не какое-либо другое.
С этой целью определим булеву алгебру, чтобы установить связь введенных операций над множествами с логическими операциями. Под булевой алгеброй понимается непустое множество А с операциями объединения, пересечения и дополнения и отношениями = и Í, удовлетворяющими аксиомам (А1) - (А5).
Последующие наши рассуждения основываются на анализе булевой алгебры, который, как представляется, образует базис логического мышления. Самым важным применением теории булевых алгебр является ее использование в логике. Это не удивительно, поскольку понятие булевой алгебры было введено Дж. Булем в результате исследования алгебраической структуры “законов мышления”. Множество всех формул исчисления высказываний становится булевой алгеброй, если отождествить эквивалентные формулы. Такая алгебра называется алгеброй Линденбаума-Тарского.
Обозначим через А алгебру Линденбаума-Тарского, и пусть ½А½ есть класс эквивалентности, образуемый высказыванием А. Имеют место основные тождества: ½А½ È ½В½ = ½А Ú В½, ½А½ Ç ½В½ = ½А Ù В½, -½А½ = ½ØА½, которые непосредственно связывают операции булевой алгебры с соответствующими логическими операциями. Если допустить, что всякое высказывание есть описание некоторой совокупности объектов, то эквивалентность высказываний понимается как описание одного и того же множества.
Из этого допущения понятно, что булева алгебра, определяемая высказываниями, описывает действия с объектами и их свойства.
Рассмотрим теперь, что в этих терминах обозначает логическое следование ú=. В соответствии с определением из высказывания А логические следует высказывание В, если множество NA объектов, которое описывается высказыванием А, включено в множество NB объектов, которое описывается высказыванием В. Т.е. А ú= В Û NA Í NB. Тем самым логическое следование в теоретико-множественных терминах выразимо как отношение включения.
Отсюда вытекает, что логические конструкции можно рассматривать как интериоризацию теоретико-множествен-ных операций, т.е. как сознательные конструкции, однозначно соответствующие реальным операциям над множествами. Поэтому сознательные рассуждения адекватны предметной деятельности субъекта. Но, как показано, предметная деятельность удовлетворяет всем аксиомам булевой алгебры. Следовательно, содержательные рассуждения, отображающие предметную деятельность не могут быть не логичными. В противном случае возникает противоречие с законами предметного мира.
Отсюда вытекает, что приняв тезис о том, что сознание развивается в результате интериоризации объектных действий, мы приходим к заключению, что оно должно быть логичным. По меньшей мере в рамках предметного окружения. Прямым подтверждением этому служит такой факт, как трудность осознания некоторых сторон душевной деятельности, не связанных непосредственно с объектным миром. Например, глубокие научные результаты, не поддающиеся объектной интерпретации, осознаются далеко не всеми и с большим трудом. Кроме того, почти все сверхъестественные явления обычным сознанием воспринимаются как чудеса, не имеющие объяснения, или шарлатанство. Например, такие явления, как мироточение или кровоточение икон, Благодатный огонь. Эти явления не имеют материальной, объектной причины, она лежит в области духа, с которым при нынешней логике, человеку не справиться. Здесь знание приходит не логическими средствами. Тезис: «Чтобы познать, надо уверовать» не просто принимается объектным мышлением.