Такая двойственность естественно ставит вопрос об отношении, назовем ее идеальной составляющей субъекта, и внешней формы ее воплощения в наблюдаемом поведении и способе мышления. В такой постановке формулируются традиционные психологические проблемы: описание структуры Эго, связь поведения и установок, формирование мотивации и т.п.
Эти задачи можно уточнить: именно воздействие внешней среды, в которой реализуется объект, на содержание идеальной составляющей - т.е. субъекта (обратная проблема) и влияние ментальной составляющей субъекта на поведение объекта (прямая задача).
На нескольких примерах мы продемонстрируем, что для ряда важных представлений психологии можно привести достаточно строгое определение, если использовать их математические аналоги.
1) Принятый в психологии взгляд на формирование сознания предполагает, что сознание формируется в результате интериоризации объектных действий. Посмотрим на эту проблему с математических позиций.
В математике аналогию операций над объектами легче всего усмотреть в теоретико-множественных операциях и отношениях, которые при определенных естественных условиях образуют булеву алгебру. Исходя из допущения, что современное сознание логично, его аналогом в математике можно считать логические функции. В простейшем случае – это булевские функции, определенные над множеством логических значений {истина, ложь}. Аналогия здесь представляется следующая: сознательные проявления в каждый достаточно ограниченный отрезок времени представляют собой последовательность действий и умозаключений, образующих логически связанную цепочку. Но тогда сознательные действия легко погружаются в класс логических функций. Итак, аналогом объектного проявления человека выступают теоретико-множественные конструкции, а сознательных действий – логические функции.
Приняв такую аналогию, связь между объектным миром и ментальными образами проясняет теорема Линденбаума-Тарского, которая утверждает, что классы эквивалентности логических функций образуют булеву алгебру. Таким образом, можно уточнить высказанный выше тезис о формировании сознания. Скорее можно говорить о формировании сознания по законам, которым подчиняется материальный мир, но не о формировании сознания под воздействием материального мира. Т.е. закон развития идеальной сферы (сознания) и функционирования материального мира един. Именно поэтому теоретически выведенные законы естественных наук оказываются адекватными.
2) Следующее замечание касается такого свойства сознания, как его ограниченность, локальность, что выражается в способности человека одномоментно удерживать в сознании лишь небольшое число объектов. Обычно полагают, что это число есть 7 плюс-минус 2. Это наглядно видно, например, в ограниченности анафорических ссылок: тот, этот, который и т.д., которые используются в естественно языковых текстах. Такая ссылка всегда отсылает к фрагменту теста, который расположен в близкой окрестности самой ссылки. Обычно это предложение или абзац.
Аналогом такой ограниченности в математике служит класс так называемых локальных объектов. Типичными примерами локальных объектов представляют системы, состоящие из функциональных блоков, между которыми устанавливаются определенные связи. Если при этом число внешних связей между блоками существенно меньше числа внутренних связей, описывающих функционирование самих блоков, то такую систему можно считать локальной. Исследуя поведение локальных систем, оказывается, что неопределенность их поведения в каждый конкретный момент определяется лишь сравнительно небольшим числом параметров.
Понятие локальной системы легко иллюстрируется на примере одного класса булевских функций. В частности, если булевскую функцию представить в к.н.ф., затем каждый дизъюнкт изобразить естественным образом как столбец матрицы, в которой позитивным литерам соответствуют 1, негативным – 0, а отсутствию литеры – пустой символ, то локальная функция примет вид ленточной матрицы с ограниченной шириной ленты, содержащей все значащие символы исходной матрицы, сгруппированные в районе главной диагонали. Используя такое представление, легко доказать, что локальные системы обладают простым описанием их функционирования и сравнительно простой конструкцией. На языке булевских функций это выглядит так: для локальных функций установление их выполнимости требует лишь полинома шагов от числа переменных.
Не только локальные булевские функции обладают такой характеристикой как ленточные матрицы. Можно привести много примеров, когда в результате сознательной деятельности человек порождает объекты, описывающиеся именно такими матрицами. Не локальные объекты существуют, но они носят искусственный характер и для их описания требуются сложные математические конструкции.