Можно высказать гипотезу, что большинство систем - не локальные, но человек в своей повседневной практике, как правило, имеет дело только с локальными. В точности так же, как человек практически оперирует лишь рациональными числами, которые образуют исчезающе малую часть всех чисел. Еще одной аналогией ограниченного сознания и класса математических объектов служат примитивно-рекурсивные функции. Известно, что почти все вычислимые функции – частично-рекурсивные, но человек оперирует лишь небольшой частью относительно просто устроенных функций – так называемых примитивно-рекурсивных. Примитивно-рекурсивные функции характеризуются простым способом вычисления, когда следующее значение вычисляется по предыдущему. Рекурсивные функции требуют для своего вычисления принципиально иного механизма вычисления – выбора элемента из неограниченного множества.
Таким образом, сознательная деятельность, ограниченная самой своей природой, описывается достаточно бедным классом объектов – именно локальными.
В итоге возникает парадоксальная ситуация: человек доказывает сложные утверждения, конструируя для этого глубокие рассуждения, но в то же время, каждый шаг его рассуждений элементарный. Оценивая возможный при этом перебор, полагая, что все действия равнодоступны, естественно заключить, что человек выстраивает доказательство, основываясь на уже известном ему плане. В общем случае этот план может не осознаваться, но он все-таки существует. В точности так же любые вычисления человек сводит к весьма простому базису, который обладает явно выраженной ограниченностью. Следовательно, для сознательной адаптации человеку вполне достаточно простых механизмов, которые составляют исчезающе малую часть принципиально возможных способов рассуждений и вычислений.
Из указанных аналогий следует практический вывод, касающийся перспектив построения искусственного интеллекта. Известно, что весьма перспективным направлением до относительно недавнего времени считалось создание систем автоматического доказательства математических теорем. Но в последнее время интерес к этой области существенно снизился из-за принципиальных трудностей, возникающих при построении систем, способных доказывать интересные содержательные утверждения. Оказывается, что только при формальном подходе, используемом в настоящее время в системах автоматического доказательства, трудно надеяться на реальную помощь компьютера в поиске и доказательстве новых, достаточно интересных математических теорем, так как математика не представляется локальной системой. Действительно, комбинаторный взрыв (например, число формул в пространстве поиска доказательства) следует после сравнительно небольшого числа шагов поискового алгоритма. При этом, хорошо поддаются решению задачи с четко прописанной структурой, что демонстрируют экспертные системы, в которых пути решения четко прописаны. Как теперь представляется, использование локальных средств не исключает комбинаторного взрыва именно из-за ограниченности информации, перерабатываемой и получаемой единичным шагом алгоритма. Поэтому построение этими методами глобального плана доказательства принципиально невозможно.
3) Следующее математическое понятие, имеющее аналогию в психологии, - это непротиворечивость, т.е. невозможность вывести в рамках одной системы противоречие: А и не-А. Теорема Геделя о полноте гласит, что формальная система непротиворечива тогда и только тогда, когда при определенной интерпретации ее формул все они превращаются в истинные высказывания. Такая интерпретация называется логической моделью системы.
Применим это утверждение к анализу структуры Эго и поведения человека. Непротиворечивость в психологии – это не только логическая непротиворечивость, с которой имеют дело в логике. Это в точности так же отсутствие разности оценок, которая воспринимается чувствами как противоречие; расхождения в позициях собеседников; отсутствие расхождения в содержаниях сознания и бессознательного и т.д. Как видно, понятие противоречия в психологии шире, нежели логическое противоречие. Поэтому в качестве одного из аналогов непротиворечивости в психологии выступает целостность личности, а интерпретации – поведение, основывающееся на содержаниях Эго и Супер-Эго. Тогда аналогом в психологии выступает адекватное поведение, как синоним нормального проявления субъекта. В итоге психологический аналог теоремы Геделя принимает вид: личность обладает адекватным поведением лишь в случае целостности своего Эго. Эта аналогия переносится в дальнейшем на содержания бессознательного, если рассматривать личность как объединение Эго и Супер-Эго.