Теория Зельмейера, описывающая взаимодействие волн с «резонирующей» средой, была разработана более полно и уточнена в работах Кельвина, Гельмгольца, Лоренца, Друде и других. Кельвин предложил простую модель распространения света в веществе. Он предположил, что к тяжелым грузикам ньютоновой модели (рис. 5.1) прикреплены упругими пружинками очень легкие грузики. Тогда поглощение и дисперсия света определяются взаимодействием световой волны с этими легкими грузиками. Лоренц и Друде поняли, что их надо отождествить со связанными электронами, и разработали довольно убедительную теорию поглощения и дисперсии, объясняющую основные опытные факты.
В заключение этой короткой экскурсии в оптику надо отметить, что точное описание дисперсии в действительности требует применения квантовой теории. Это было сделано в первой половине нашего века, но основная идея объяснения этого любопытного и важного явления родилась, как мы видели, очень давно. Обо всей этой истории можно было бы написать увлекательную повесть, но нас давно ждут солитоны.
*) Двумя годами ранее подобную модель рассмотрел Максвелл, который не опубликовал свои результаты.
Дисперсия волн на воде
Вода примером служит нам, примером...
Дисперсия играет огромную роль в жизни солитонов. Поэтому нам нужно познакомиться и с другими ее видами. Особенно ярко проявляются зависимость скорости распространения волн от их длины для волн на поверхности воды. Это было известно уже Ньютону. Теорема 37 третьей книги «Начал» гласит: «Скорость волн пропорциональна корню квадратному из длины их». После этого Ньютон в задаче 10 вычисляет скорость волны, сопоставляя вертикальным колебаниям частиц воды качания маятника с длиной l = ¼λ. За время одного качания Т волна сдвигается на расстояние λ, откуда v = (λ/Т) = 
. Хотя это лишь приближенное соотношение, приближение получилось довольно неплохое. Правильное выражение с учетом кругового движения частиц воды есть v = 
. Сразу заметим, что с такой скоростью распространяются волны лишь на «глубокой воде», когда глубина h много больше длины волны. В противоположном предельном случае «мелкой воды», когда h 
λ, скорость волны зависит лишь от глубины: v = 
.
С точностью до числовых множителей эти формулы можно получить из соображений размерности и простых физических представлений о природе распространения волны. Скорость v может зависеть от g, λ, h, а также от плотности жидкости ρ и от амплитуды волны. Так как размерность массы содержится только в ρ, то сразу ясно, что скорость не зависит от плотности. (Это можно также понять, просто вспомнив, что возвращающая сила, действующая на частичку воды, пропорциональна ее массе. В уравнении движения Ньютона эта масса сокращается, как и в случае маятника.)
Простейшие наблюдения указывают на то, что скорость не зависит от амплитуды. Положив поэтому v = dgαλbhc и сравнивая размерности левой и правой частей, находим
v = d (h/λ)c.
Здесь показатель с и число d соображениями размерности не определяются. Однако мы знаем, что при распространении колебаний в движение вовлекаются лишь слои воды, расположенные на глубине, меньшей длины волны (амплитуду считаем малой). Это значит, что при достаточно большом расстоянии h от поверхности до дна величина h не играет никакой роли, т. е. надо положить с = 0. В противоположном предельном случае, когда h 
λ, скорость не должна зависеть от длины волны λ, так как размеры траекторий совершающих колебания частиц воды не могут превышать h (сравните с длинной волной в цепочке атомов). Мы заключаем, что для мелкой воды надо взять с = ½.
В точной теории можно получить формулу, пригодную при любом соотношении между h и λ. Из нее следует, что при возрастании длины волны скорость сначала растет, но при λ 
2πh этот рост замедляется и скорость приближается к максимальному, или «критическому» значению vк = . Полезно познакомиться с приближенными выражениями для скорости в пределе коротких и длинных волн