С какой скоростью бежит стая волн
В опытах наблюдаются, конечно, не бесконечные синусоидальные волны, а группы или, как сказал бы Рассел, стайки волн. Первые систематические наблюдения групп волн и были сделаны Pacceлом. Он заметил, что скорость перемещения стайки в целом меньше, чем скорость отдельных волн. При наблюдении кажется, что волны продвигаются сквозь группу, как бы исчезая на передней ее границе. Это явление объяснил в 1876 г. Стокс, который и ввел понятие групповой скорости *). Год спустя к этой проблеме вернулся Рэлей. Он нашел, как групповая скорость зависит от дисперсии, и получил формулу, которую мы сейчас выведем.
*) Впервые это понятие для волн в дискретной решетке ввел Гамильтон, рассказавший о своей работе на заседании Ирландской академии в 1839 г. и опубликовавший два кратких сообщения. В его бумагах, найденных и опубликованных 100 лет спустя, содержалась очень подробно разработанная теория групповой скорости таких волн.
Мы воспроизведем в упрощенном виде рассуждения Рэлея, приведенные в его книге «Теория звука», первой и одной из лучших книг по общей теории колебаний и волн **). Сначала предельно упростим задачу и рассмотрим две волны одинаковой амплитуды, но слегка различной длины, распространяющиеся в одном и том же направлении. Рэлей, естественно, рассматривает синусоидальные волны, а мы для наглядности заменим синусоиды пилообразными волнами. Сумма двух таких волн легко определяется графически, как это сделано на рис. 5.9. Мы видим довольно четко выраженную стайку волн с вершиной А. Если обе волны, из которых образована эта стайка, распространяются с одной и той же скоростью, то вершина, разумеется, бежит с той же скоростью. Предположим теперь, что волны разной длины бегут с разной скоростью, т. е. имеется дисперсия. Пусть, например, v1 = v(λ1) 
v2 = v(λ2). Что мы увидим в этом случае? Нарисуем графики движения первой и второй волн (рис. 5.10). Нетрудно понять, что в момент t0 мы снова увидим стайку волн первоначальной формы, но с вершиной в точке x0. Как видно на рисунке, АВ = λ1, ВC = v1t0, откуда v1t0 - x0 = λ1. Назовем u = x0/t0 групповой скоростью и заметим, что (λ2 - λ1)/t0 = v2 - v1 (это тоже ясно видно, из рисунка).
**) Современники Рэлея не сумели вполне оценить, что с появлением этой книги зародилось общее учение о колебаниях и волнах. Даже Гельмгольц, которому книга очень понравилась, считал, что это просто очень хорошая книга по акустике.
Учитывая, что разности длин волн, Δλ = λ2 - λ1, и разности скоростей, Δv = v2 - v1, малы, легко понять, что
где мы заменили v1 и λ1 на среднюю скорость v = ½(v1 + v2) и среднюю длину волны λ = ½(λ1 + λ2). Это и есть соотношение Рэлея, связывающее групповую скорость со скоростью гармонической волны (последнюю обычно называют фазовой скоростью). Смысл этой простой формулы состоит в том, что скорость группы, в которой средняя длина волн входящих в нее гармоник близка к λ, определяется производной фазовой скорости v(λ) по λ при значении λ, равном средней длине волны группы.
Групповую скорость легко определять по графику функции v(λ) (рис. 5.8). Пусть средняя длина волны группы равна λ2. Проведем из точки O2 касательную до пересечения с осью у. Точка пересечения и дает групповую скорость, которая в этом случае меньше фазовой. Упражнение: докажите, что при λ 
λмин из формул (5.22) и (5.23) следует, что u 
v/2. Попробуйте проверить это соотношение наблюдениями. Точно такое построение можно выполнить и для длин волн, меньших λмин. При λ = λмин фазовая и групповая скорости, как видно из рисунка, совпадают.