Признаюсь, что я пока немного обманывал Вас, выдавая за модель Френкеля — Конторовой более наглядную, но и более сложную систему. Теперь займемся настоящей моделью Френкеля — Конторовой.
Если Вы хотите по-настоящему понять, как устроен хотя бы один солитон, попробуйте разобраться в следующих двух параграфах, возвращаясь время от времени к формулам, описывающим маятник и движения грузиков в пружинной модели. Если у Вас нет желания заниматься этой работой, можно бегло просмотреть эти параграфы. Советую все же постараться понять, что изображено на рис. 6.3 и 6.4 и обратить внимание на закон дисперсии волн в модели Френкеля — Конторовой.
Дислокации и маятники
В настоящей модели ФК атомы, естественно, движутся по прямой (ось х) и все силы, действующие на них, направлены также по оси х. Действие соседних атомов верхнего слоя представим, как всегда, пружинами, а действие атомов нижнего слоя («подкладки») описывается периодической синусоидальной силой
f(х) = -f0 sin (2πx/α).
Как и в предыдущей главе, обозначим отклонение n-го атома от положения равновесия функцией yn(t) = xn(t) - nα, где xn(t) — координата n-го атома. Со стороны «подкладки» на n-й атом действует сила
Пружины действуют на n-й атом с силой, равной
k (yn+1 - yn) - k (yn - yn-1).
Уравнение движения n-го атома поэтому принимает вид
Если f0 = 0, то мы получаем уравнение (5.8), уже изученное раньше.
Итак мы получили уравнение (6.1), соответствующее модели Френкеля — Конторовой. Сейчас мы найдем решение этого уравнения, описывающее движущуюся дислокацию. Читателя, разобравшегося в предыдущей главе, уже не смущает что это не одно уравнение, а бесконечная система уравнений. Мы знаем что движущаяся дислокация подобна волне, бегущей по цепочке маятников, в которой каждый маятник с некоторым запаздыванием точно повторяет все движения предыдущего. Время этого запаздывания Δt определяется скоростью перемещения волны v = α/Δt. Таким образом (вспомните рис. 5.7)
Смещения yn (t + Δt) можно найти, считая движение атома от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным. Тогда, как мы уже писали,
Подставляя это в уравнение (6.1), получаем замечательно простое уравнение
Присмотримся к этому уравнению повнимательнее. Если отвлечься от обозначений, то видно, что оно почти совпадает с уравнением маятника, о котором так много говорилось в гл. 4. Когда периодической силы не было, т. е. f0 = 0, мы должны были положить m = k (Δt)2, откуда и определили скорость распространения звука в свободной цепочке:
Теперь квадратная скобка не равна нулю. Перепишем ее в виде
Теперь ясно, что при медленном движении дислокации, когда v 
v0, квадратная скобка отрицательна, а определенная нами эффективная масса m•, зависящая от скорости v, положительна.
Легко свести уравнение (6.2) к уравнению маятника (4.1). Вспомним, что sin (π + φ) = -sin φ, и положим 2π(yn/α) = π + φn, т. е. будем измерять отклонение атома от положения равновесия «углом» φn. Если атом остался на месте, то yn = 0 и φn = -π. Если он смещается вправо, то угол φn возрастает и при yn = α принимает значение +π. Таким образом, переходу атома со дна одной «ямки» на дно другой соответствует асимптотическое движение «маятника». При таком изменении обозначений уравнение движения (6.2) можно записать в виде (проверьте это!)
Движение «маятника» по сепаратрисе, когда φn (t) изменяется от -π до +π, мы уже определили раньше (вспомним формулу (4.9) и рис. 4.10). Напишем эту формулу еще раз: