Во что превратились звуковые волны
Итак, мы уже поняли, что солитоны перемещаются со скоростями, меньшими v0. А как же с обычными звуковыми волнами — могут ли они распространяться в среде, смоделированной Френкелем и Конторовой?
Возвратимся к уравнению (6.2). Даже для волн очень малой амплитуды его правую часть отбросить нельзя. Можно только приближенно заменить ее на -2πf0(yn/α). Тогда сразу видно, что yn(t) будет изменяться по синусоидальному закону, если величина «эффективной массы» m• отрицательна. При положительной эффективной массе никаких колебаний yn(t) не получится (вспомните гл. 4!). Предположим поэтому, что m• 
0. Тогда из формулы (6.3) следует, что скорость распространения волны v должна быть больше v0, т. е. больше чем в свободной цепочке атомов! Не противоречит ли это только что сделанным вычислениям? Конечно, нет. Скорость v — это фазовая скорость волны, и мы сейчас увидим, что скорость группы волн оказывается всегда меньше v0.
Итак, подставим в формулу (6.2) соотношение (6.3) и заменим sin [2π (yn/α)] на 2π (yn/α). Для уn(t) получаем тогда уравнение малых (линейных) колебаний
Решения этого уравнения, например
уn(t) = уn(tn) соs [ω(t - tn)],
описывают, как и раньше, бегущие волны. Вспоминая рассуждения, приведенные при выводе формулы (6.5), представим волну смещения атомов в виде
у(t, х) = у0 соs [ω(t - x/v)].
Зависимость круговой частоты волны ω от фазовой скорости определяется формулой (6.8). Из условия связи длины волны с частотой и скоростью, т. е. из обычного соотношения λ = v/
= 2πv/ω, легко находим зависимость фазовой скорости от длины волны:
Упражнение: получите формулы (6.8), (6.9), воспользовавшись формулами (6.2), (6.3). Найдите групповую скорость и из формулы (5.23).
О т в е т: 
Зависимость скорости v от длины волны λ изображается хорошо изученной нами кривой — гиперболой. Обозначив v/v0 = X и λ/λ0 = Y, можно записать уравнение (6.9) в более знакомом и приятном виде как Y2 - Х2 = 1. Как мы уже убедились в гл.4, точки этой кривой можно находить с помощью циркуля и линейки. Это построение выполнено на рис. 6.4, где
введены обозначения X1 = λ1/λ0 , Y1 = v1/v0, 1/Y1 = u1/v0, λ1 — интересующее нас значение длины волны, v1 — соответствующее значение фазовой скорости, определяемое формулой (6.9), а u1 = v02/v1 — значение групповой скорости.
Упражнение: выполните построение рис. 6.4. Покажите, что координаты точки А1 подчиняются соотношению (6.9), координаты точки С1 равны ω0/ω1 и u1/v0 = v0/v1, где ω1 — значение ω, соответствующее заданному значению λ = λ1.
Полученный нами закон дисперсии очень часто встречается в самых разных физических явлениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы как следует понять его. Особенно полезно представить его с помощью дисперсионной формулы
которая легко получается заменой в формуле (6.9) отношения v/v0 на (λω/λ0ω0).
Отсюда сразу видно замечательное свойство этого закона дисперсии — частота распространяющихся по цепочке волн всегда выше частоты ω0, с которой колебался бы каждый атом цепочки вблизи своего положения равновесия, если бы он находился только под действием «подкладки». Физически очевидно, что частота ω0 достигается при очень большой длине волны, когда соседние атомы смещаются без изменения относительно расстояния (как твердое тело). При этом пружины настолько слабо деформируются, что их как бы и нет.