Другое свойство закона дисперсии (6.9) роднит его с гравитационными волнами на глубокой воде. Мы видим, что фазовая скорость v(λ) увеличивается с увеличением длины волны. Правда, эта зависимость несколько иная — скорость очень длинных волн на воде пропорциональна 
, а скорость волн смещения пропорциональна λ (при λ 
λ0). Тем не менее можно считать, что природа прохождения дисперсии в обоих случаях качественно сходна. Во всяком случае, найденная нами дисперсия волн смещения в атомной цепочке не связана с ее дискретной структурой, которая может проявиться лишь при очень малых длинах волн, порядка постоянной решетки α.
При выводе закона дисперсии мы, в сущности, с самого начала пренебрегали дискретной структурой, предполагая, что α 
λ и α λ0. Нетрудно проверить, что λ0 = 2πl0 (проверьте!). Поэтому при α λ0 будет также выполнено условие α l0, т. е. размер дислокации l0 должен быть большим по сравнению с межатомным расстоянием. Отсюда ясно, что дефект по Френкелю, размер которого примерно равен α, нельзя описать с помощью изложенной здесь теории. Если, однако, не гнаться за точностью, то можно считать дефект по Френкелю просто дислокацией малого размера l0, сравнимого с α. Описание при этом будет качественно правильным.
Если это не вполне понятно, нужно вспомнить начало предыдущей главы, где описаны колебания системы из двух и трех грузиков, соединенных пружинками. Эти колебания соответствуют стоячим волнам сплошной резинки (рис. 5.4 и 5.5), но только нельзя рассматривать волны с длиной, меньшей 2α. Более точное описание дефекта по Френкелю можно найти с помощью исходного уравнения (6.1). Если пружины очень мягкие, т. е. если kα f0, то существует равновесное состояние, в котором один из атомов смещен примерно на α, а все остальные смещены мало (попробуйте это проверить самостоятельно!). Это и есть дефект по Френкелю.
Раз уж мы вспомнили переход от цепочки атомов к сплошной среде, стоит написать, во что превратится при таком переходе основное уравнение (6.1). Как и при выводе уравнения Д'Аламбера, можно считать, что второй член в правой части перейдет в kα2y". Переходя от y(t, х) к φ(t, х) (вспомните вывод уравнений (6.4), (6.5), найдем в результате, что
Если ω0 = 0, то из этого уравнения получается уравнение Д'Аламбера.
К уравнению (6.11) приклеилось странное название — уравнение «синус-Гордона». Происхождение этого жаргонного наименования связано с тем, что при значениях φ, мало отличающихся от π, т. е. φ = π + ψ, где 
оно переходит в уравнение
Это, а если говорить совсем точно, несколько более общее уравнение было предложено в 1926 г. Э. Шрёдингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. А. Фоком, и обычно физики для краткости называют его уравнением Клейна — Гордона. Подобное стремление к укорочению названий породило и сочетание «синус-Гордона».
На самом деле уравнение (6.12) было известно уже в прошлом веке и называлось уравнением струны в упругой среде (действие упругой среды на каждый кусочек струны описывается членом 
в правой части уравнения). Уравнение (6.11) также встречалось математикам в конце прошлого века. Оно появилось в связи с исследованиями по геометрии Лобачевского *) и было известно лишь геометрам. Достаточно полное изучение решений уравнения (6.11) было выполнено лишь в 1936 г. немецким математиком Р. Штойервальдом. Он нашел решения, соответствующие (на нашем с вами языке) одному солитону, двум солитонам и бризеру. Эти результаты до самого последнего времени были известны лишь немногим специалистам по геометрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах. Для физики уравнение «синус-Гордона» было открыто Френкелем и Конторовой, и они же нашли его солитонное решение. Связать эти открытия с их именами естественно и справедливо, хотя наиболее удивительные свойства модели ФК были обнаружены позднее другими исследователями. Как сказал Больцман: «Еще почти никогда... не бывало, чтобы та самая голова, которая впервые натолкнулась на ту или иную новую идею, до конца исчерпала бы ее».