x +2. Наша задача — определить, куда она может убежать за большое время, т. е. представить себе, каким может быть xn при больших значениях n.
Как ни проста эта задача на вид, вам едва ли удастся найти ее решение без помощи микрокалькулятора. Однако прежде чем приступить к экспериментам, стоит немного подумать, чего от них можно ожидать. Рассмотрим кривую AA0A1 (рис. 7.1), соответствующую уравнению x2 + x = b. Если xn стремится к некоторому пределу, то предельное значение будет лежать на этой кривой.
Численные эксперименты, однако, показывают, что только блохи, для которых точки с координатами (x0, b) лежат внутри фигуры A0B1B1'A0' (кривая A0'A0 получается зеркальным отражением относительно оси Ob), приближаются к кривой A0А1. При этом на ветвь A0A они никогда не попадают, а если их постоянные b и начальные координаты x0 таковы, что точка (x0, b) лежит в заштрихованной области, то такие блохи убегают на бесконечность. Судьба наших ученых блох с постоянной b 0,75 полностью определена. Что бы они ни делали, они либо погибают «в бесконечности», либо притягиваются к точкам на кривой A0А1, где мы их легко ловим. Почти столь же печальна судьба блох, у которых (x0, b) лежит в области B1B2B2'B1'. Они в конце концов попадают на кривую A2A1A2', и при достаточно большом n перескакивают на каждом шаге с A1A2' на A1A2 и обратно. Уравнение этой кривой тоже легко определить, воспользовавшись тем, что в пределе больших n после двух последовательных скачков, блоха оказывается вблизи той же ветви, т. е. x2+n 
xn. Отсюда находим xn+2 = b - (b - xn2)2 и в пределе, когда xn+2 xn x, находим для x уравнение (b - x2)2 - (b - x) = 0. Легко проверить, что левая часть этого уравнения равна произведению двух множителей: (x2 + x - b) и (x2 - x + 1 - b). Обращение в нуль первого множителя дает кривую AA0A1, а второго — кривую A2A1A2'.
До сих пор мы могли бы более или менее точно предсказать, что будет происходить. При увеличении «блошиной» постоянной все, однако, быстро усложняется. Кривые, которые их притягивают, продолжают раздваиваться, и при b 
1,5 скачки становятся почти непредсказуемыми, беспорядочными. На рисунке этому соответствует зачерненная область. Например, если блоха начинает движение на отрезке B3B3', то она притянется к отрезку C3C3'. Предельные значения ее координат плотно заполняют этот отрезок (на самом деле, как показывают дальнейшие эксперименты, устройство зачерненного притягивающего множества гораздо сложнее, читатель может попробовать изучить его в экспериментах).
Притягивающее множество в научной литературе называют аттрактором. Например, аттрактор маятника с трением состоит из единственной точки нижнего положения равновесия. Аттрактор раскачиваемых качелей — периодическое движение, при котором потери на трение точно компенсируются энергией, затрачиваемой на раскачивание. Аттрактор нашей блошиной модели имеет весьма сложную структуру. При b 1,5 движение блохи периодическое — она регулярно перескакивает с одной ветки на другую. На линиях B1B1' характер движения меняется скачком, так как число ветвей удваивается. Это очень типичное для нелинейных систем явление называется бифуркацией (от слова bifurcate — раздваиваться, разветвляться). При увеличении b наша система переходит через последовательность бифуркаций в область хаотического движения (для блохи хаос означает свободу; увеличивая свою постоянную, она может перейти из «царства необходимости» в «царство свободы»).