Понятие односвязности — довольно простое понятие. Представим себе канцелярскую резинку (то есть резиновую нить со склеенными концами) столь упругую, что она, если её не удерживать, стянется в точку. От нашей резинки мы потребуем ещё, чтобы при стягивании в точку она не выходила за пределы той поверхности, на которой мы её расположили. Если мы растянем такую резинку на плоскости и отпустим, она немедленно стянется в точку. То же произойдёт, если мы расположим резинку на поверхности глобуса, то есть на сфере. Для поверхности спасательного круга ситуация окажется совершенно иной: любезный читатель легко найдёт такие расположения резинки на этой поверхности, при которой стянуть резинку в точку, не выходя за пределы рассматриваемой поверхности, невозможно. Геометрическая фигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенный в пределах этой фигуры, можно стянуть в точку, не выходя за названные пределы. Мы только что убедились, что плоскость и сфера односвязны, а поверхность спасательного круга не односвязна. Не односвязна и плоскость с вырезанной в ней дырой. Понятие односвязности применимо и к трёхмерным фигурам. Так, куб и шар односвязны: всякий находящийся в их толще замкнутый контур можно стянуть в точку, причём в процессе стягивания контур будет всё время оставаться в этой толще. А вот баранка не односвязна: в ней можно найти такой контур, который нельзя стянуть в точку так, чтобы в процессе стягивания контур всё время находился в тесте баранки. Не односвязен и крендель. Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.
Надеемся, что читатель не забыл ещё разницу между отрезком и интервалом, которой обучают в школе. Отрезок имеет два конца, он состоит из этих концов и всех точек, расположенных между ними. Интервал же состоит только из всех точек, расположенных между его концами, сами же концы в состав интервала не входят; можно сказать, что интервал — это отрезок с удалёнными из него концами, а отрезок —это интервал с добавленными к нему концами. Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных многообразий, причём интервал есть многообразие без края, а отрезок — многообразие с краем; край в случае отрезка состоит из двух концов. Главное свойство многообразий, лежащее в основе их определения, состоит в том, что в многообразии окрестности всех точек, за исключением точек края (которого может и не быть), устроены совершенно одинаково. При этом окрестностью какой-либо точки A называется совокупность всех точек, расположенных вблизи от этой точки A . Микроскопическое существо, живущее в многообразии без края и способное видеть только ближайшие к себе точки этого многообразия, не в состоянии определить, в какой именно точке оно, существо, находится: вокруг себя оно всегда видит одно и то же. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы T : здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек — это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия — линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Плоскость с вырезанной в ней дырой также будет многообразием — а вот с краем или без края, зависит от того, куда мы относим контур дыры. Если мы относим его к дыре, получаем многообразие без края; если оставляем контур на плоскости, получаем многообразие с краем, каковым и будет служить этот контур. Разумеется, мы имели здесь в виду идеальное математическое вырезание, а при реальном физическом вырезании ножницами вопрос, куда относится контур, не имеет никакого смысла.