Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более парадоксальными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов . Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики и длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Сейчас мы опишем другое явление — парадокс зеркального отражения . Встретится ли когда-либо названный парадокс в действительности, неизвестно; в отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать — общепризнанные) свойства мироздания, возможность осуществления зеркального отражения чисто теоретическая, она всего лишь не опровергнута.
Итак, парадокс зеркального отражения . В 1896 году Г. Дж. Уэллс написал свою “Историю Платтнера” (“The Plattner story”) — уже упоминавшийся рассказ о том, как школьный учитель Готфрид Платтнер претерпевает фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. До путешествия он не был левшой и имел нормальное строение тела за исключением лёгкой асимметрии: “Левый глаз немного больше правого и челюсть чуть-чуть отвисает с левой стороны”. А вот каким он сделался после своего путешествия: “Правый глаз немного больше левого, и правая часть челюсти слегка тяжелее левой. <…> Сердце Готфрида бьётся с правой стороны! <…> Все другие несимметричные части его тела расположены не на своих местах. Правая доля его печени расположена с левой стороны, левая — с правой, аналогично перепутаны и лёгкие. <…> Он может писать только левой рукой, причём справа налево”.
Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: “Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если подымете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, — это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. <…> Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир”.
Здесь существенна заключённая в скобки оговорка: “...в том виде, в каком мы понимаем пространство...” Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за пределы этого пространства. При стандартном школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном школьном понимании. Существуют, однако, и иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.
Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, то есть выйти в третье измерение, перевернуть и снова положить на стол. Существует, однако, такая поверхность, перемещением по которой правое превращается в левое. Два немецких математика, Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мёбиус, независимо друг от друга открыли её в 1858 году. По имени одного из них поверхность получила название лист Мёбиуса .
Изображение листа Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности — на значке мехмата Московского университета). Рекомендуем любезному читателю самому изготовить эту знаменитую поверхность. Сделать это просто. Если взять бумажную ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же перед склеиванием ленту крутануть на 180 градусов, как раз и получится лист Мёбиуса. Во избежание недоразумений повторим сказанное на языке математики. Надо взять прямоугольник ABCD, у которого сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AD параллельна стороне BC, и склеить друг с другом стороны AD и BC (“торцы”). Склейку можно производить различными способами. Если сделать это без перекрутки, точка A склеится с точкой B, а D — с C, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с C, а D с B, получим лист Мёбиуса. Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером листа Мёбиуса3.