Читатель, желающий проверить себя на понимание бесконечных порядковых чисел (а автора — на способность понятно изложить), благоволит выполнить такое упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 3, числа 2, всех чисел 0, 1/ sub 2 /sub , 2/ sub 3 /sub , 3/ sub 4 /sub , 4/ sub 5 /sub и так далее и всех чисел 1, 11/ sub 2 /sub , 12/ sub 3 /sub , 13/ sub 4 /sub , 14/ sub 5 /sub и так далее. Занумеруйте элементы этого множества, в порядке их возрастания, порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим элементом является здесь 0 и он получит номер I, элемент 1/ sub 2 /sub получит номер II, элемент 2/ sub 3 /sub получит номер III, и так далее; далее, элемент 1 получит номер ω, элемент 11/ sub 2 /sub получит номер ω+ I, элемент 12/ sub 3 /sub получит номер ω+ II, и так далее; наконец, элемент 2 получит номер ω+ω, и элемент 3 получит номер ω+ω+ I.
Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике
То, что общественное сознание отчасти мифологично, давно перестало быть новостью. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не “понятно массам”, а “понято массами”, а Пушкин (в письме к жене) писал не “с умом”, а “с душою”. Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, этом заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна: ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф — формула Обещаю говорить правду, только правду и ничего, кроме правды , якобы применяемая в американском судопроизводстве (формула довольно странная, поскольку смысл оборотов “только правду” и “ничего, кроме правды” один и тот же). На самом деле в Америке говорят по-другому: “Обещаю говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог” (Promise to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God).
Математика может чувствовать себя польщённой тем, что к числу деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, принадлежат и некоторые математические сюжеты. Например, большинство убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяется через другие понятия, а каждое утверждение доказывается, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: “Портной учился у другого, другой у третьего, да первой портной у кого же учился?” Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: “Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, — при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников”. Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, — при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть какое угодно количество сторон, в правильном же многограннике количеством граней может служить лишь одно из следующих пяти чисел: четыре (у тетраэдра), шесть (у куба, он же гексаэдр), восемь (у октаэдра), двенадцать (у додекаэдра) или двадцать (у икосаэдра) — так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.