Рассуждения Ивана основываются в первую очередь на уверенности в том, что человек способен создавать аксиоматики — системы безусловных предпосылок, из которых все остальное дедуктивно следует. На самом деле существование многих и различных систем аксиом совершенно не очевидно. Во всяком случае, и Евклид, и Кант были убеждены, что аксиомы создает не человек, а Творец, а роль человека куда более скромная — эти аксиомы попробовать выяснить (априорно или эмпирически). Первым человеком, который сознательно пошел на создание новой системы геометрических аксиом (а никаких других явно выраженных аксиоматик в тот момент просто не существовало в математике), был Николай Лобачевский (1792 — 1856). Он усомнился в правоте евклидовой геометрии, которая строилась как идеальный образ реального пространства. Но пространство — только одно, его познание (по Канту) — априорно, и значит, может существовать только одна верно описывающая его геометрия. Лобачевский предпринял попытку доказать, что геометрия Евклида верна не всегда, а только для небольших масштабов измерений. В своей работе «О началах геометрии» (1829) Лобачевский оценивает отклонение суммы углов от 180 градусовв треугольнике, образованном неподвижной звездой (в одном из экспериментов это — Сириус) и двумя точками земной орбиты. (В геометрии Лобачевского в качестве той аксиомы, которая не верна для евклидова пространства, может быть принята и такая: сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов — аксиома параллельных в варианте Лобачевского из этой аксиомы немедленно следует.) В экспериментах, выполненных Лобачевским, отклонения от евклидовой суммы — 180 градусов — оказались меньше, чем погрешность измерения. Масштаб оказывается слишком малым, чтобы проверить, какую же геометрию имеет реальное пространство. Но Лобачевский ставит вопрос о глубоком различии между геометрией как логической структурой и геометрией как отражением физической реальности. Он пишет в своей работе: «Новая (неевклидова) Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики»8 .
Совершенно не случайно разговор Ивана с Алешей начинается с рассуждений старшего брата о геометрии Лобачевского. Иван утверждает (следуя здесь Канту), что представление о пространстве у человека не является эмпирическим, а является априорным: Бог создал человека с представлением о трех измерениях пространства, а в качестве геометрии пространства и даже бытия утвердил — евклидову. Иван принимает это определение. Хотя почему эта истина лучше (или точнее) описывает мир, чем предположения «некоторых геометров и философов» о том, что параллельных линий просто не существует и две любые прямые всегда пересекаются? Ведь никто никогда не видел непересекающихся прямых линий — для этого потребовалось бы прогуляться в бесконечность и вернуться обратно. И может быть, куда естественнее было бы согласиться с тем, что никаких параллельных прямых линий просто нет? Эмпирически — с точки зрения здравого смысла — само существование параллельных прямых — сомнительно. А мнение «некоторых геометров» пожалуй что и более основательно9 .
Сама возможность сомнения (можно, следуя Декарту, назвать его «методологическим»), возможность формулирования более чем одной системы аксиом, является в данном случае для Ивана крайне плодотворным прецедентом. И он приступает к формулированию своих аксиом — нравственных — и проверке их опытом. Его задача — построить непротиворечивую и основанную на своего рода априорной «очевидности» систему. Исследовать ее полноту, то есть возможность применения (в данном случае — нравственной оценки) ко всем вообще событиям мира. Выяснить в процессе построения необходимость Христа в этой системе. Можно ли обойтись без гипотезы Бога, как это сделал Лаплас при описании Солнечной системы?
Когда Иван формулирует основное утверждение геометрии Лобачевского — новую формулировку пятого постулата Евклида, он делает это абсолютно некорректно. Иван формулирует постулат в том виде, в котором его обычно и сегодня воспринимает обыденное сознание («здравый смысл»): «Параллельные линии пересекаются». Но параллельные линии пересекаться не могут — потому что они параллельные, то есть другими словами — непересекающиеся. Фраза «параллельные линии пересекаются» лишена смысла, поскольку утверждает в точности то, что параллельные — непараллельны. Лобачевский ничего такого, конечно, сказать не мог.