Можно ли сказать, что именно опыт научает нас тому, что пространство имеет три измерения, что именно, исходя из экспериментального закона, нам пришлось приписать ему три измерения? Но мы произвели здесь только, так сказать, физиологический опыт; и если бы даже достаточно было приспособить для глаз стекла подходящей конструкции, чтобы нарушить согласие между ощущениями схождения и аккомодации, то скажем ли мы, что достаточно надеть такие очки — и пространство будет иметь четыре измерения и что оптик, который построил бы их, придал бы пространству еще одно измерение? Очевидно, нет; мы можем только сказать: опыт научил нас, что удобно приписывать пространству три измерения. Но визуальное пространство есть только часть пространства, и в самом понятии этого пространства есть нечто искусственное, как я выяснил это вначале. Истинное пространство есть пространство моторное; им-то мы и займемся в следующей главе.
Глава IV
Пространство и его три измерения
Изложим вкратце полученные результаты. Мы задались целью исследовать, какой смысл имеют слова: пространство имеет три измерения. Прежде всего мы спросили себя, что такое физическая непрерывность и когда можно сказать, что она имеет n измерений. Если мы рассматриваем различные системы впечатлений и сравниваем их между собой, то мы часто убеждаемся, что две из этих систем впечатлений не могут быть различены (что обыкновенно выражается словами, что они слишком близки одна к другой и что наши чувства слишком грубы для того, чтобы мы могли различать их), и, сверх того, мы констатируем, что две из этих систем иногда могут быть отличены одна от другой, хотя они неотличимы от одной и той же третьей. Если это так, то говорят, что совокупность этих систем впечатлений образует физическую непрерывность C. И каждая из этих систем будет называться элементом непрерывности C.
Сколько измерений имеет эта непрерывность? Возьмем сначала из C два элемента A и B и предположим, что существует ряд элементов Σ, принадлежащих непрерывности С, таких, что A и B суть два крайних члена этого ряда и что каждый член ряда неотличим от предыдущего. Если можно будет найти такой ряд Σ, то мы скажем, что A и В связаны между собой; а если в C два каких угодно элемента связаны между собой, мы скажем, что C односвязна.
Теперь выберем вполне произвольно на непрерывности C некоторое число элементов. Совокупность этих элементов будет называться купюрой. Среди рядов Σ, которые связывают A с B, мы будем различать ряды, один элемент которых будет неотличим от одного из элементов купюры (мы скажем, что это — ряды, которые пересекают купюру), и ряды, все элементы которых будут отличимы от всякого элемента купюры. Если все ряды Σ, связывающие A с B, пересекают купюру, то мы скажем, что A и В отделены друг от друга купюрой и что купюра разделяет C. Если невозможно найти на C два элемента, которые были бы отделены друг от друга купюрой, то мы скажем, что купюра не разделяет С.
Если, по установлении этих определений, непрерывность C может быть разделена купюрами, которые сами не образуют непрерывность, то эта непрерывность C имеет только одно измерение; в противном случае она имеет несколько измерений. Если для того, чтобы разделить C, достаточно купюры, образующей непрерывность одного измерения, то C будет иметь два измерения; если достаточно купюры, образующей непрерывность двух измерений, то C будет иметь три измерения, и т. д.
Благодаря этим определениям всегда можно будет узнать, сколько измерений имеет любая физическая непрерывность. Остается только найти физическую непрерывность, которая была бы так сказать эквивалентна пространству так, чтобы каждой точке пространства соответствовал элемент этой непрерывности и чтобы точкам пространства, очень близким друг к другу, соответствовали неразличимые элементы. Тогда пространство будет иметь столько измерений, сколько и эта непрерывность.