Пусть мое мускульное чувство сообщило мне, что между моментами α и β я пошевелился, но так, что я последовательно почувствовал два ряда мускульных ощущений S и S', которые я считаю обратными; тогда я сделаю еще вывод — как если бы я не шевелился, — что точки, занимаемые A в момент α и В в момент β, тождественны, если я констатирую, что мой первый палец касается A в момент α и В в момент β.
Такое решение еще не вполне достаточно, как это сейчас будет видно. В самом деле, посмотрим, сколько измерений оно побуждало бы нас приписывать пространству. Я хочу сравнить две точки, занимаемые A и B в моменты α и β, или (что то же самое, потому что я предполагаю, что мой палец касается A в момент α и B — в момент β) я хочу сравнить две точки, занимаемые моим пальцем в два момента α и β. Единственное средство, которым я располагаю для этого сравнения, есть ряд мускульных ощущений Σ, которым сопровождались движения моего тела между этими двумя моментами. Различные мыслимые ряды Σ, очевидно, образуют физическую, непрерывность, число измерений которой очень велико. Условимся, как я это сделал раньше, не считать различными два ряда Σ и Σ + S + S', когда два ряда S и S' будут взаимно обратными в том смысле, какой я придал этому слову выше; несмотря на такое условие, совокупность различных рядов Σ образует еще физическую непрерывность, число измерений которой будет меньше, но будет еще очень велико.
Каждому из этих рядов Σ соответствует точка пространства: таким образом, двум рядам Σ и Σ' будут соответствовать две точки M и М'. Средства, которыми мы располагаем до сих пор, позволяют нам узнать, что M и М' неразличимы в двух случаях: 1) если Σ тождествен с Σ'; 2) если Σ' = Σ + S + S', причем S и S' взаимно обратимы. Если бы во всех других случаях мы считали M и М' различными, то совокупность точек имела бы столько измерений, сколько и совокупность различных рядов Σ, т. е. гораздо больше 3.
Для тех, кто уже знаком с геометрией, легко было бы уяснить это следующим образом. Между рядами мыслимых мускульных ощущений есть такие, которые соответствуют рядам движений, при которых палец не шевелится. Я говорю, что если не считать различными ряды Σ и Σ + σ, где ряд σ соответствует таким движениям, при которых палец не шевелится, то совокупность рядов составит непрерывность трех измерений, но если ряды Σ и Σ' считать различными, исключая тот случай, когда Σ' = Σ + S + S', где S и S' обратимы, то совокупность рядов составит непрерывность более чем трех измерений.
В самом деле, пусть мы имеем в пространстве поверхность A, на этой поверхности линию B, на этой линии точку M; пусть C0 — совокупность всех рядов Σ; пусть C1 — совокупность всех таких рядов Σ, что в конце соответствующих движений палец находится на поверхности A; пусть также C2 и C3 — совокупности таких рядов Σ, что в конце палец оказывается на B и в M, Прежде всего, ясно, что C1 составит купюру, которая разделит C0, и что C2 будет купюрой, которая разделит C1, и C3 — купюра, которая разделит C2. Отсюда следует, по нашим определениям, что если C3 есть непрерывность n измерений, то C0 будет физической непрерывностью n + 3 измерений.
Пусть же Σ и Σ' = Σ + σ будут два ряда, входящие в состав C3; для обоих в конце движений палец находится в M; отсюда следует, что в начале и в конце ряда σ палец находится в той же точке M; следовательно, ряд σ — один из тех рядов, которые соответствуют движениям, когда палец не шевелится. Если Σ и Σ + σ не считать различными, то все ряды C3 сольются в один, поэтому C3 будет иметь 0 измерений и C0, как я хотел доказать, будет иметь 3 измерения. Если же, напротив, Σ и Σ + σ я не считаю сливающимися (исключая тот случай, когда σ = S + S', где S и S' обратимы), то ясно, что C3 будет содержать в себе множество рядов различных ощущений, ибо при полной неподвижности пальца тело может принимать много различных положений. Тогда C3 образует непрерывность и C0 будет иметь более трех измерений, а это я и хотел доказать.