Я попытаюсь обосновать определение числа измерений на понятии сечения. Представим себе замкнутую кривую, т. е. непрерывность одного измерения. Если мы отметим на этой кривой две какие-нибудь точки, через которые мы запретим себе переступать, то кривая окажется разделенной на две части, и невозможно будет перейти из одной части в другую, оставаясь на кривой и не переходя через запретные точки. Возьмем, наоборот, замкнутую поверхность, образующую непрерывность двух измерений. Мы можем отметить на этой поверхности одну, две, любое число запретных точек, поверхность от этого не окажется разбитой на две части. Можно будет перейти от одной ее точки к другой, не встречая препятствий, так как всегда можно будет обойти запретные точки.
Но если мы проведем на нашей поверхности одну или несколько замкнутых кривых и если мы будем рассматривать их как сечения, которые нельзя переступать, то поверхность может быть рассечена на несколько частей
Перейдем теперь к случаю пространства. Его невозможно разделить на несколько частей, запрещая переступать через отдельные точки или через отдельные линии: эти препятствия всегда можно обогнуть. Здесь следует запретить переступать через определенные поверхности, т. е. через сечения двух измерений. Вот почему мы говорим, что пространство имеет три измерения.
Мы теперь знаем, что такое непрерывность n измерений. Непрерывность имеет n измерений, когда ее можно разбить на несколько частей, произведя в ней одно или несколько сечений, которые сами являются непрерывностями n–1 измерений. Таким образом, непрерывность n измерений определяется через непрерывность n–1 измерений. Это — рекуррентное определение.
Что мне внушает доверие к этому определению и показывает, что именно таким образом вещи естественно представляются уму, это прежде всего то, что многие авторы элементарных учебников, не мудрствуя лукаво, поступают аналогичным образом в начале своих сочинений. Объемы они определяют как части пространства, поверхности — как границы объемов, линии — как границы поверхностей, точки — как границы линий. После этого они останавливаются, и аналогия очевидна. Лишь впоследствии в других частях Analysis situs мы встречаемся снова с понятием сечения, имеющим огромное значение. Все здесь основано на сечении. Что, например, по Риману, отличает тор от сферы? То, что на сфере нельзя провести замкнутую кривую, не рассекая эту поверхность на две части, в то время как существуют замкнутые кривые, которые не рассекают тор на две части; на нем нужно провести два замкнутых сечения, не имеющих общей точки, чтобы быть уверенным в том, что тор разделен.
Остается рассмотреть еще один вопрос. Непрерывности, о которых мы только что говорили, — это математические непрерывности; каждая из их точек абсолютно отлична от других и к тому же абсолютно неделима. Непрерывности же, которые даются нам непосредственно нашими чувствами и которые я назвал бы физическими непрерывностями, совсем иного рода. Законом этих непрерывностей служит закон Фехнера, который я освобожу от украшающего его пышного математического наряда и сведу к простой формулировке лежащих в его основе экспериментальных данных. Взвешивая на руке, можно отличить вес в 10 граммов от веса в 12 граммов, но нельзя отличить вес в 11 граммов ни от веса в 10 граммов, ни от веса в 12 граммов. Возьмем более общий случай: могут быть две совокупности ощущений, которые мы отличаем друг от друга, но которые мы не можем отличить от некоторой третьей подобной же совокупности ощущений. В таком случае мы можем вообразить себе непрерывную цепь совокупностей ощущений такого рода, что каждая из них неотличима от следующей, хотя оба конца цепи легко отличимы. Это будет физическая непрерывность одного измерения. Мы можем также представить себе более сложные физические непрерывности. Элементами этих физических непрерывностей будут по-прежнему совокупности ощущений (но предпочитаю употреблять более простое слово «элемент»). Когда, в этом случае, вправе мы будем сказать, что система S подобных элементов представляет физическую непрерывность? Тогда, когда можно рассматривать два любых элемента ее как концы некоторой непрерывной цепи, подобной той, о которой я говорил, и все элементы которой принадлежат системе S. Это так же, как непрерывна поверхность, если можно соединить две ее любые точки непрерывной линией, не покидающей этой поверхности.