S ≡ S' (mod α),
смысл которых я объяснил выше. Приписать пространству два измерения — это значило бы допустить такие соотношения, которых мы, люди, не допускаем. В этом случае пришлось бы предположить возможность заменить движения S, достигающие цели, движениями S', которые цели не достигают. Приписать же пространству четыре измерения значило бы, наоборот, отбросить такие соотношения, которые мы, люди, допускаем. В этом случае пришлось бы отказаться от возможности заменить движения S другими движениями S', точно так же достигающими цели, которые могли бы при известных обстоятельствах представить некоторые особые удобства.
Но вопрос может быть поставлен и с совершенно иной точки зрения. Мы до сих пор рассматривали его с чисто субъективной, чисто психологической или, если угодно, физиологической стороны. Мы рассматривали лишь отношения между пространством и нашими чувствами. Можно было бы, наоборот, встать на точку зрения физики и спросить себя: нельзя ли локализовать явления природы в пространстве, отличном от нашего, например в пространстве двух или четырех измерений? Физические законы выражаются дифференциальными уравнениями, а в этих уравнениях фигурируют три координаты материальных точек. Разве невозможно выразить эти же самые законы другими уравнениями, в которых на этот раз фигурировали бы другие материальные точки, имеющие четыре координаты? Или, может быть, это и возможно, но полученные таким образом уравнения не оказываются ли менее простыми? Или, наконец, если эти уравнения столь же просты, как и наши обычные уравнения, то не отбрасываем ли мы их только потому, что они нарушают наши умственные привычки?
Что, собственно, хотим мы сказать, говоря о выражении тех же самых законов другими уравнениями? Предположим, что перед нами два мира M и М'. Мы можем установить между явлениями, которые происходят в этих мирах или которые могли бы в них происходить, такого рода соответствие, что всякому явлению Ф первого мира будет соответствовать вполне определенное явление Ф' второго мира, которое было бы, так сказать, его изображением. Если теперь я предположу, что необходимым следствием явления Ф в силу законов, управляющих миром M, оказывается определенное явление Ф1, а необходимым следствием явления Ф', изображения Ф, в силу законов, управляющих миром М', будет Ф'1, точное изображение явления Ф1, то мы сможем сказать, что оба мира подчиняются одним и тем же законам. Нас мало интересует качественная природа явлений Ф и Ф', нам достаточно лишь, чтобы был возможен «параллелизм».
Действительно, эта качественная природа явлений затрагивает лишь наши чувства, а мы условились встать на внепсихологическую точку зрения, следовательно, условились абстрагироваться от данных наших чувств и обращать внимание только на взаимоотношения явлений. Так именно и поступает физик, когда он, например, заменяет газы, данные нам в опыте и вызывающие у нас ощущения давления и теплоты, газами кинетической теории, являющимися просто движущимися материальными точками, или когда он заменяет свет, получаемый в опыте и вызывающий у нас цветовые ощущения, колебаниями эфирной среды.
Достаточно рассмотреть какой-нибудь простой случай, например астрономические явления и закон Ньютона. Мы наблюдаем не координаты небесных светил, а только их взаимные расстояния. Поэтому естественным выражением законов их движения будут дифференциальные уравнения, связывающие эти расстояния со временем. Но расстояние между двумя точками в пространстве представляет собой известную простую функцию координат этих двух точек. Преобразуем наши дифференциальные уравнения, подставив в них эту функцию вместо всех расстояний. Мы получим тогда эти уравнения в их обычной форме, где фигурируют сами координаты светил.
Но мы могли бы заменить эти расстояния другими функциями и получили бы тогда другие формы этих уравнений. Все эти формы были бы одинаково правомерны с интересующей нас точки зрения, так как в них соблюден «параллелизм» между явлениями. Представим себе звезды расположенными в четырехмерном пространстве, так что положение каждой из них определяется уже не тремя, а четырьмя координатами. Заменим далее в наших уравнениях величину, представлявшую для нас до сих пор расстояние между двумя светилами, какой-нибудь функцией восьми координат этих двух светил. Нет никакой необходимости, чтобы эта функция была той самой, которая представляет расстояние между двумя точками в четырехмерном пространстве; она может быть совершенно произвольной, так как это нисколько не нарушает «параллелизма».