Мы получим, таким образом, некоторую форму наших уравнений, в которых будут фигурировать координаты светил в четырехмерном пространстве. Это будет новое выражение астрономических законов, основанное на гипотезе четырехмерного пространства, и выражение это будет вполне правомерно, потому что условие «параллелизма» соблюдено. Ясно только, что полученные таким образом уравнения будут гораздо менее простыми, чем наши обычные уравнения.
То же самое, без сомнения, будет и с другими законами физики. Нет ли какого-нибудь общего основания тому факту, что во всех разделах физики гипотеза трех измерений дает уравнениям наипростейшую форму? И имеет ли это основание что-нибудь общее с развитыми выше соображениями, в силу которых живые существа вынуждены верить в три измерения или поступать так, как если бы они верили в это под угрозой ослабления в борьбе за существование?
Здесь необходимо небольшое отступление. Вернемся на минуту к нашему старому обычному пространству. Мы говорим, что оно относительно, и это значит, что законы физики одни и те же во всех частях этого пространства или, на математическом языке, что дифференциальные уравнения, выражающие эти законы, не зависят от выбора осей координат.
Если рассматривать совершенно изолированную систему, то это не имеет никакого смысла: ведь наблюдать координаты точек этой системы невозможно, можно наблюдать только их взаимные расстояния. Наблюдение не может сообщить нам о том, зависят ли свойства этой системы от ее абсолютного положения в пространстве, так как это положение недоступно наблюдению.
Если же система не изолирована, то опять-таки, если мы станем рассуждать вполне строго, то окажемся в затруднении, потому что невозможно станет выражать законы, управляющие этой системой, не считаясь с действием внешних тел. Но существуют системы, почти изолированные, окруженные телами, достаточно близкими, чтобы их можно было видеть, но достаточно удаленными, чтобы действием их можно было пренебречь. Именно это и имеем мы в случае Земли и звезд. Мы можем тогда выражать законы нашего земного мира так, как если бы звезды не существовали, и в то же время относить этот мир к системе координатных осей, вполне определенной и неизменно связанной с этими звездами. Опыт показывает, что выбор этих осей не играет никакой роли и что уравнения не изменятся, если произвести замену осей. Совокупность возможных изменений осей образует, как известно, группу шести измерений.
Откажемся теперь от нашего обычного пространства, заменим наши уравнения другими, эквивалентными им в том смысле, что будет соблюден «параллелизм» явлений. Всякий раз, когда мы будем иметь дело с почти изолированной системой, обнаружится некоторый общий факт, именно существование определенного свойства инвариантности. Обнаружится определенная группа преобразований, которые не изменяют уравнений; эти преобразования уже не будут означать изменения осей координат, их смысл может быть любым, но группа, образованная этими преобразованиями, должна оставаться всегда изоморфной группе шести измерений, о которой мы говорили выше, ибо в противном случае не было бы параллелизма.
Так как эта группа играет во всех случаях важную роль, так как она изоморфна группе преобразования координат в обычном пространстве, так как она вследствие этого тесно связана с нашим трехмерным пространством, то в силу всего этого наши уравнения получают наипростейшую форму, когда эту группу выдвинут самым естественным образом, т. е. введя пространство трех измерений.
И так как эта группа сама изоморфна группе перемещений каждого из наших членов, рассматриваемых как твердое тело, так как свойство твердых тел двигаться, подчиняясь законам группы, есть в конечном счете лишь частный случай свойства инвариантности, на котором я остановил свое внимание, то, как мы видим, нет существенного различия между физическим основанием, побуждающим нас приписывать пространству три измерения, и психологическими основаниями, развитыми в первых параграфах этой главы.