Но нельзя произвольно снабжать смыслом постулаты; необходимо, чтобы они были очевидны сами по себе. Поэтому нам не нужно доказывать эту очевидность, так как она недоказуема, но нужно стараться проникнуть в тот психологический механизм, который вызвал это ощущение очевидности. Здесь-то и возникает затруднение: Цермело принимает ряд аксиом и отбрасывает другие, которые на первый взгляд могут казаться столь же очевидными, как и те, которые он сохраняет. Если бы он сохранил их все, то он впал бы в противоречия, следовательно, ему необходимо было сделать выбор; но можно спросить, каковы основания его выбора, и это-то требует некоторого внимания.
Он начинает с того, что отбрасывает определение Кантора: множество есть собрание каких-либо различных объектов, образующих нечто целое. Я, конечно, не имею права говорить о множестве всех объектов, удовлетворяющих тем или иным условиям. Эти объекты не образуют множества, Menge, но вместо отбрасываемого определения необходимо принять какое-нибудь другое. Цермело ограничивается словами: рассмотрим область (Bereich) каких-либо объектов; может случиться, что между двумя из этих объектов x и y существует зависимость вида x ∈ y; мы скажем в таком случае, что x есть элемент y и что y есть множество, Menge.
Очевидно, что это не является определением; кто-либо, не знающий, что такое Menge, не узнает ничего, если ему скажут, что оно изображается символом ∈, так как он не знает, что такое ∈. Это могло бы еще сойти, если бы этот символ ∈ в будущем определялся самими аксиомами, рассматриваемыми как произвольные предписания. Но мы только что видели, что эта точка зрения недопустима. Необходимо, чтобы мы знали заранее, что такое Menge, чтобы имели его интуицию, и именно эта интуиция позволит нам понять, что такое ∈, которое без этого будет только лишенным смысла символом, относительно которого нельзя будет утверждать никаких очевидных самих по себе свойств. Но чем же может быть эта интуиция, как не тем определением Кантора, которое мы презрительно отбросили? Оставим это затруднение, которое мы попытаемся осветить несколько дальше, и перечислим аксиомы, принятые Цермело; их семь:
1. Два Menge, имеющие одни и те же элементы, тождественны.
2. Существует одно Menge, не содержащее ни одного элемента, — это Nullmenge; если существует один объект a, то существует Menge(a), единственным элементом которого является этот объект; если существуют два объекта a и b, то существует Menge(a, b), единственными элементами которого являются эти объекты.
3. Множество всех элементов какого-либо Menge M, удовлетворяющих условию x, образуют подмножество Untermenge М.
4. Каждому Menge T соответствует другое Menge UT, образованное из всех Untermengen Т.
5. Рассмотрим Menge T, все элементы которого сами являются Mengen; существует Menge ST, элементы которого являются элементами элементов Т. Если, например, Т имеет три элемента A, B, C, которые сами являются Mengen, и если A имеет два элемента a и a', B — два элемента b и b', C — два элемента c и c', то ST будет иметь шесть элементов a, b, c, a', b', c'.
6. Если имеется Menge T, все элементы которого сами является Mengen, то можно выбрать в каждом из этих элементарных Mengen по элементу, и множество выбранных таким образом элементов образует Untermenge ST.
7. Существует по крайней мере одно бесконечное Menge.