Но эти аргументы, как известно, не трогают прагматистов; как бы ни был болтлив один человек, человечество будет еще более болтливо, и так как мы не знаем, сколько времени оно будет существовать, то мы не можем заранее ограничить поле его изысканий; мы знаем только одно, что это поле будет всегда оставаться ограниченным; и даже если бы мы могли определить дату исчезновения человечества, то существуют другие звезды, которые смогут принять неоконченный труд Земли; прагматисты даже согласны без особого отвращения представить себе человечество, несравненно более болтливое, чем наше, сохраняя все-таки за ним кое-что человеческое; но они отказываются рассуждать по поводу гипотезы уж я не знаю какого божества, бесконечно болтливого и могущего мыслить бесконечное число слов в конечное время. Канторианцы же, наоборот, предполагают, что объекты существуют в своего рода большом складе, независимо от всего человечества или всякого божества, которое могло бы о них говорить или думать; в этом магазине мы, без сомнения, можем выбирать, но, наверное, мы не имеем достаточно аппетита или средств, чтобы купить все; при этом инвентарь магазина не зависит от ресурсов покупателей. Из этого-то исходного недоразумения следуют всевозможные разногласия в деталях.
Возьмем для примера теорему Цермело, по которой пространство может быть преобразовано во вполне упорядоченное множество. Канторианцы будут пленены строгостью, действительной или кажущейся, доказательства; прагматисты им ответят: «вы говорите, что можете преобразовать пространство в хорошо упорядоченное множество: хорошо! Преобразуйте». «Это будет слишком долго». «Тогда по крайней мере покажите нам, что кто-либо, имеющий достаточно времени и терпения, мог бы произвести это преобразование». «Нет, мы этого не можем, так как число операций, которые необходимо проделать, бесконечно, оно больше даже, чем алеф-нуль». «Можете ли вы показать, как можно будет выразить конечным числом слов закон, который позволил бы упорядочить пространство?» «Нет». И прагматисты заключают, что теорема лишена смысла или неверна, или по крайней мере не доказана.
Прагматисты становятся на точку зрения расширения, а канторианцы — на точку зрения выделения. Когда речь идет о конечной совокупности, это различие может интересовать только теоретиков формальной логики; но оно кажется нам гораздо более глубоким, когда речь идет о бесконечных совокупностях. Если встать на точку зрения расширения, совокупность образуется последовательными прибавлениями новых членов; мы можем, комбинируя старые объекты, создавать новые, затем с помощью этих — еще более новые, и если совокупность бесконечна, то только потому, что нет причин, чтобы остановиться.
С точки зрения выделения, наоборот, мы исходим из совокупностей, в которых находятся предсуществующие объекты, которые кажутся нам сначала неразличимыми; но мы, наконец, начинаем различать некоторые из них потому, что мы снабжаем их этикетками и распределяем по ящикам; однако объекты предшествуют этикеткам, и совокупность существовала бы даже тогда, когда не нашлось бы коллекционера для ее классификации.
Для канторианцев понятие кардинального числа не составляет тайны. Две совокупности имеют одинаковое кардинальное число, когда их можно расположить в одних и тех же ящиках; нет ничего проще этого, поскольку обе совокупности предсуществуют и поскольку точно так же можно рассматривать как предсуществующую совокупность ящиков, независимых от коллекционера, заинтересовавшегося распределением по ним объектов. Для прагматистов это не так; совокупность не предсуществует, она каждый день обогащается; новые объекты без конца прибавляются к ней так, что их нельзя было бы определить, не опираясь на понятие объектов, уже ранее классифицированных, и на способ их классификации. При каждом новом приобретении коллекционер может быть вынужденным перерыть свои ящики, чтобы найти способ пристроить его на место; никогда не будет известно, могут ли две совокупности расположиться в тех же ящиках, так как всегда можно ожидать необходимости произвести среди них перемещения. Например, прагматисты принимают только объекты, которые могут быть определены конечным числом слов. Возможные определения, выражаемые с помощью фраз, всегда могут быть перенумерованы порядковыми числами от одного до бесконечности, поэтому у них будет возможно только одно бесконечное количественное число алеф-нуль. Почему тогда, спросим мы, мощность континуума не такая же, как и мощность целых чисел? Да, когда даны все точки пространства, которые мы умели определять словами в конечном числе, мы можем представить себе закон, выражаемый также конечным числом слов, который приводит их в соответствие с последовательностью целых чисел. Но рассмотрим теперь фразы, где фигурирует формулировка этого закона соответствия; только что они не имели никакого смысла, так как этот закон еще не был изобретен, и они не могли служить для определения точек пространства; теперь они приобрели смысл, они позволяют нам определить новые точки пространства, но эти новые точки не будут уже иметь места в принятой классификации, и это заставит нас изменить ее. Это-то мы и хотим сказать, когда, следуя прагматистам, говорим, что мощность континуума не та же, что мощность целых чисел. Мы хотим сказать, что невозможно найти такой закон соответствия между этими двумя совокупностями, который был бы защищен от подобных изменений в том смысле, как это можно сделать, например, когда речь идет о прямой и плоскости. И в таком случае, собственно говоря, прагматисты не уверены в том, что некоторое множество имеет кардинальное число или же что для двух заданных множеств всегда можно узнать, имеют ли они одну и ту же мощность или одно из них имеет мощность большую, чем другое. Таким образом, они приходят к сомнению в существовании числа алеф-один.