Пусть ε — длина (она считается по окружности радиуса, равного единице) каждого красного или черного деления. Надо вычислить интеграл от φ(Θ)dΘ, распространяя его, с одной стороны, на все красные деления, с другой — на все черные, и затем сравнить полученные результаты.
Рассмотрим промежуток 2ε, заключающий одно красное деление и следующее за ним черное. Пусть M и m — наибольшее и наименьшее значения функции φ(Θ) в этом промежутке. Интеграл, распространенный на красные деления, будет меньше ΣMε; интеграл, распространенный на черные деления, будет больше Σmε; следовательно, разность их будет меньше Σ(М — m)ε. Но если функция φ предположена непрерывной, если, с другой стороны, промежуток ε очень мал сравнительно с полным углом, описанным стрелкой, то разность М — m будет крайне мала. Поэтому и разность двух интегралов будет очень мала и вероятность будет очень близка к ½.
Всякому понятно, что, не зная ничего о функции φ, я должен действовать так, как если бы вероятность была равна ½. Ясно, с другой стороны, что если, становясь на объективную точку зрения, я буду наблюдать известное число выпадений, наблюдение даст мне приблизительно столько же выпадений черного, сколько и красного. Все игроки знают этот объективный закон, но он вовлекает их в одну странную ошибку, которая им часто указывалась, но в которую они всегда впадают снова. Когда красное выпало, например, шесть раз подряд, они ставят на черное, рассчитывая на верный выигрыш; ведь очень редко бывает, говорят они, чтобы красное выпадало семь раз подряд.
В действительности вероятность выигрыша и в этом случае остается равной ½. Правда, наблюдение показывает, что серии из семи последовательных красных крайне редки; но серия из шести красных, за которой следует один черный, является столь же редкой. Им бросилась в глаза редкость серий из семи красных; но они не обращали внимания на редкость серий из шести красных и одного черного единственно потому, что подобные сочетания меньше поражают внимание.
V. Вероятность причин. Я перехожу к проблемам вероятности причин — проблемам, наиболее важным с точки зрения их применений в науке. Пусть, например, две звезды расположены на небесной сфере очень близко друг к другу. Не является ли эта видимая близость результатом простой случайности, и не находятся ли эти звезды — хотя они расположены почти на одном и том же луче зрения — на очень различных расстояниях от Земли, а следовательно, на значительном отдалении одна от другой? Или мы имеем здесь действительную близость? Вот это и есть проблема вероятности причин. Прежде всего я напомню, что всякий раз, обсуждая проблемы вероятности событий, которыми мы занимались до сих пор, мы всегда должны были выдвигать некоторое условное положение, более или менее оправдываемое. И если чаще всего результат был в известной мере независим от этого условного положения, то это лишь в силу известных гипотез, которые позволили нам a priori отбросить, например, разрывные функции или некоторые нелепые соглашения.
Нечто аналогичное встретим мы, занимаясь вероятностью причин. Некоторое действие может быть произведено причиной A или причиной В. Действие наблюдалось; ищется вероятность того, что оно обусловлено причиной A; это — вероятность причины à posteriori. Но я не мог бы вычислить ее, если бы некоторое более или менее оправдывающееся условное положение не позволило мне наперед знать, какова априорная вероятность того, что причина A вступит в действие; я подразумеваю здесь вероятность этого события для того, кто еще не наблюдал самого действия.
Для большей ясности я возвращусь к примеру игры в экарте, к которому я прибегал выше; мой партнер сдает карты в первый раз и открывает короля — какова вероятность, что это шулер? Обычное применение формул дает 8/9 — результат, очевидно, крайне удивительный. Если исследовать дело ближе, то вычисление оказывается выполненным так, как если бы я, еще не садясь за игорный стол, уже признал, что у меня один шанс против двух за то, что мой партнер — нечестный игрок. Такая гипотеза нелепа, ибо в этом случае я, конечно, не стал бы с ним играть; этим выясняется и нелепость заключения.
Условное положение об априорной вероятности было неоправданным; поэтому и вычисление апостериорной вероятности привело меня к недопустимому результату. Отсюда видна важность предварительного условного положения. Я прибавлю еще, что если совсем не вводить условного положения, то проблема вероятности à posteriori не имела бы никакого смысла; всегда приходится это делать либо явно, либо молчаливо.