Наприклад, для рівностороннього трикутника n = 3, тому θ == 180° − 120° = 60°, тоді як для квадрата n = 4, тому θ = 180° − 90° = 90°.
Наступним кроком уявімо собі, що ми відрізали всі ребра та вершини правильного багатогранника, крім тих, що збігаються в якийсь одній вершині, і розплющили те, що утворилося, на площині. Тоді N багатокутників, що збігаються в такій вершині, лежатимуть в одній площині, але між ними має бути простір, інакше N багатокутників утворять одну суцільну плоску фігуру. Тому має бути Nθ < 360°. Підставивши замість θ отриману першим кроком формулу й поділивши обидві частини нерівності на 360°, отримаємо:
або, що те саме (якщо поділити обидві частини нерівності на N):
Ми маємо отримати n ≥ 3, бо інакше не було б простору між сторонами багатокутників, а також ми повинні отримати N ≥ 3, бо інакше не було б місця між гранями, що збігаються разом біля вершини (наприклад, для куба n = 4, бо сторони є квадратами, а N = 3). Отже, згадана вище нерівність не дозволяє ані 1/n, ані 1/N бути таким малим як, наприклад, 1/2 − 1/3 = 1/6, а отже, ні n, ні N не може дорівнювати чи бути більшим від 6. Ми можемо легко перевірити всі можливі пари цілих чисел у діапазонах 5 ≥ N ≥ 3 та 5 ≥ n ≥ 3 на відповідність нерівності й побачити, що є лише п’ять таких пар:
a) N = 3, n = 3
b) N = 4, n = 3
c) N = 5, n = 3
d) N = 3, n = 4
e) N = 3, n = 5
(У випадках n = 3, n = 4 та n = 5 сторони правильного багатогранника є відповідно рівносторонніми трикутниками, квадратами та правильними п’ятикутниками.) Це ті значення N та n, які ми знаходимо в тетраедрі, октаедрі, ікосаедрі, кубі, а також додекаедрі.
Усе це довів Евклід. Але він не довів, що для кожної пари n та N є лише один правильний багатогранник. Ми підемо далі Евкліда й покажемо, що для кожного значення N та n можна отримати єдино можливі комбінації інших властивостей багатогранника: кількості граней F, кількості ребер E та кількості вершин V. Тут є три невідомі величини, тож нам знадобляться три рівняння, щоб знайти їх. Щоб вивести перше, зверніть увагу, що загальна кількість сторін усіх багатокутників, що утворюють поверхню багатогранника, становить nF, але кожне з E ребер є межею двох багатокутників, тому
2E = nF.
Крім того, зауважмо, що N граней збігаються разом біля кожної з V вершин, а кожне з E ребер з’єднує дві вершини, тому
2E = NV.
Нарешті, є й менш явне співвідношення між величинами F, E та V. Щоб його вивести, ми маємо зробити додаткове припущення, що багатогранник однозв’язний у тому сенсі, що будь-який шлях між двома точками на поверхні може безперервно трансформуватися в будь-який інший шлях між цими точками. Так відбувається, наприклад, для куба або тетраедра, але не для багатогранника (правильного чи ні), побудованого розташуванням ребер та граней уздовж поверхні тора. Одна складна в доведенні теорема стверджує, що будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований додаванням ребер, граней та/або вершин до тетраедра, а потім, якщо це необхідно, стисканням, унаслідок якого багатогранник набуває якоїсь бажаної форми. З огляду на цей факт, ми тепер покажемо, що будь-який однозв’язний багатогранник (правильний чи ні) задовольняє рівність:
F − E + V = 2.
Легко перевірити, що цю рівність задовольняє й тетраедр, у випадку якого ми маємо F = 4, E = 6, V = 4, тож ліва частина рівняння матиме такий вигляд: 4 − 6 + 4 = 2. Тепер, якщо додати до будь-якого багатогранника ребро, що перетинає грань від одного ребра до іншого, ми додаємо одну нову грань і дві нові вершини, тому F та V збільшуються на одну одиницю та дві одиниці відповідно. Але це розбиває кожне старе ребро в кінцях нового ребра на дві частини, тому E зростає на 1 + 2 = 3, а отже, число F − E + V залишається незмінним. Так само, якщо ми додаємо ребро, що проходить від вершини до одного з наявних ребер, тоді ми збільшуємо значення F та V на одну одиницю кожне, а значення E на дві одиниці, тому число F − E + V усе ще залишається незмінним. Нарешті, якщо додати ребро, що проходить від однієї вершини до іншої, тоді ми збільшуємо обидва значення F та E на одну одиницю кожне й не змінюємо V, тому число F − E + V знову залишається незмінним. Оскільки будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований так, усі подібні багатогранники мають однакове значення для цього числа, тобто рівність F − E + V = 2 має бути збережена для них так само, як і для тетраедра (це простий приклад галузі математики, відомої як топологія; число F − E + V в топології називають ейлеровою характеристикою багатогранника).