Як ми згадували в технічній примітці 6, якщо опором повітря можна знехтувати, тоді спрямоване донизу прискорення будь-якого тіла, що падає, дорівнює сталій g, яка поблизу земної поверхні має значення 9,8 м/с2. Якщо якесь тіло падає зі стану спокою, тоді після часового проміжку τ (тау) швидкість його руху донизу дорівнюватиме gτ. Отже, якщо перша та друга краплі падають зі стану спокою з тієї самої ринви за час t1 та t2, то в якийсь пізніший момент часу t швидкість руху донизу цих крапель дорівнюватиме υ1 = g(t − t1) та υ2 = g(t − t2) відповідно. Різниця у швидкостях цих крапель, отже, становитиме:
υ1 − υ2 = g(t − t1) − g(t − t2) = g(t2 − t1).
Хоча значення υ1 і υ2 збільшуються з часом, різниця між ними не залежить від конкретного часу t, тому відстань s між краплями просто зростає пропорційно часу:
s = (υ1 − υ2)t = gt(t1 − t2).
Наприклад, якщо друга краплина залишає ринву через якусь десяту частку секунди після першої краплини, то через півсекунди ці краплини віддаляться на 9,8 × 1/2 × 1/10 = 0,49 м.
8. Відбиття
Відкриття закону відбиття світла Героном Александрійським стало одним із найперших прикладів виведення внаслідок математичної дедукції фізичного принципу з якогось глибшого, загальнішого принципу. Припустімо, що якийсь спостерігач у точці А бачить відображення у дзеркалі об’єкта, що розташоване в точці B. Якщо цей спостерігач бачить зображення об’єкта в точці P на дзеркалі, то промінь світла мав переміститися від B до P, а потім до A. (Герон, імовірно, сказав би, що світло перемістилося від спостерігача в точці А до дзеркала, а потім до об’єкта в точці B, так, ніби око дотяглося й торкнулося цього об’єкта, але для наведених нижче аргументів це не має значення.) Запитання тут таке: де саме на дзеркалі розташована точка P?
Щоб відповісти на це запитання, Герон припустив, що світло завжди вибирає найкоротший із можливих шляхів. У випадку відбиття це означає, що точка P має бути розташована так, щоб загальна довжина шляху від B до P, а потім до А була найкоротшим шляхом, що веде від B до якоїсь точки на дзеркалі, а потім до A. З цього він зробив висновок, що кут θпад (тетапад) між дзеркалом та променем, що падає (відрізком між точкою B і дзеркалом), дорівнює куту θвідб між дзеркалом та відбитим променем (відрізком між дзеркалом та точкою A).
Ось доведення правила про рівність кутів падіння й відбиття світла. Проведімо перпендикулярно поверхні дзеркала лінію від точки B до точки B´, розташованої за дзеркалом на тій самій відстані, що й B перед ним (див. рис. 3). Припустімо, що ця лінія перетинає дзеркало в точці C. Сторони B´C та CP прямокутного трикутника B´CP мають однакову довжину зі сторонами ВС та CP прямокутного трикутника BCP, тому гіпотенузи B´P та BP цих двох трикутників повинні теж мати однакову довжину. Повна відстань, пройдена променем світла від B до P, а потім до А, таким чином, однакова з відстанню, яку мав би пройти промінь світла, якби він ішов від B´ до P, а потім до A. Найкоротшою відстанню між точками B´ та А є пряма, тому шлях, що мінімізує повну відстань між об’єктом та спостерігачем, є тим, для якого P розташована на прямій лінії між B´ та A. Коли дві прямі лінії перетинаються, кути на протилежних сторонах точки перетину рівні, тому кут θ між лінією B´P та дзеркалом дорівнює куту θвідб між відбитим променем та дзеркалом. Але оскільки ці два прямокутні трикутники – B´CP та BCP – мають однакові сторони, кут θ має також дорівнювати куту θпад між променем, що падає, BP та дзеркалом. Тому, оскільки θпад та θвідб дорівнюють θ, вони рівні між собою. Це фундаментальне правило рівності кутів падіння й відбивання світла, що визначає положення P на зображенні об’єкта у дзеркалі.