Рис 3. Доведення теореми Герона. Ця теорема стверджує, що найкоротший шлях від об’єкта в точці B до дзеркала, а потім до ока в точці А такий, за якого кути θпад та θвідб рівні. Суцільні лінії, позначені стрілками, показують шлях променя світла; горизонтальна лінія – це площина дзеркала; а пунктир – це лінія, перпендикулярна дзеркалу, що проходить від точки B до точки B´ на іншому боці дзеркала, розташованому на рівній відстані від нього.
9. Плаваючі та занурені тіла
У своїй видатній праці «Про плаваючі тіла» Архімед припускав: якщо тіла плавають або підвішені у воді так, що на рівні площі поверхні на рівних глибинах у воді тисне різна вага, то вода й ці тіла перебуватимуть у русі, поки на всі рівні площі поверхні на будь-якій заданій глибині не почне тиснути однакова вага. З цього припущення він вивів загальні наслідки щодо як плаваючих, так і занурених тіл, деякі з яких навіть мали практичну важливість.
Спочатку розгляньмо якесь тіло на кшталт корабля, вага якого менша за вагу рівного об’єму води. Це тіло плаватиме на поверхні води, витісняючи певну її кількість. Якщо ми намітимо у воді на деякій глибині просто під плаваючим тілом якусь горизонтальну ділянку, площа якої дорівнює площі перерізу судна на рівні його ватерлінії, то вага, що тисне на цю ділянку, буде вагою цього плаваючого тіла плюс вагою води вище від цієї ділянки, за винятком води, витісненої тілом, оскільки ця вода більше не перебуває вище від цієї ділянки. Це можна порівняти з вагою, що тисне на таку саму ділянку на такій самій глибині, але у стороні від положення плаваючого тіла. Це значення, звісно, не враховує вагу плаваючого тіла, але точно включає вагу всієї води від глибини, на якій розташована намічена ділянка, до поверхні без витісненої води. Щоб на обидві ділянки тиснула однакова вага, вага води, витісненої плаваючим тілом, має дорівнювати вазі плаваючого тіла. Ось чому вагу корабля називають його водотоннажністю.
Далі розгляньмо якесь тіло, вага якого більша за вагу рівного об’єму води. Таке тіло не плаватиме, але воно може бути підвішене у воді, наприклад на тросі. Якщо цей трос прикріплений до одного плеча важеля, то таким чином можна виміряти позірну вагу Wпоз тіла під час занурення у воду. Вага, що тисне на горизонтальну ділянку у воді на деякій глибині безпосередньо під підвішеним тілом, дорівнюватиме справжній вазі Wспр підвішеного тіла мінус позірна вага Wпоз, що компенсується натягом троса, плюс вага води над ділянкою, що, звісно, не включає в себе воду, витіснену тілом. Це значення можна порівняти з вагою, що тисне на таку саму площу поверхні на такій самій глибині й не містить Wспр або – Wпоз, але точно містить вагу всієї води від цієї ділянки до поверхні, за винятком витісненої води. Щоб на обидві ділянки тиснула однакова вага, має бути збережена така рівність:
Wспр − Wпоз = Wвит,
де Wвит – вага води, витісненої підвішеним тілом. Тому, зважуючи тіло за підвішування у воді та поза водою, можна знайти як Wпоз, так і Wспр, і так знайти Wвит. Якщо тіло має об’єм V, то
Wвит = ρводиV
де ρводи (роводи) – густина (вага на об’єм) води, близька до значення 1 г/см3. (Звісно, для тіла простої форми, наприклад куба, ми могли би знайти V, просто вимірюючи розміри тіла, але для тіла неправильної форми, як-от корона, це доволі складно.) Крім того, справжня вага тіла становить:
Wспр = ρтілаV,
де ρтіла – густина тіла. За співвідношення Wспр та Wвит об’єм скорочується, тому з вимірювань Wпоз та Wспр можна знайти співвідношення густин тіла та води:
Таке співвідношення називають відносною густиною матеріалу, з якого складається тіло. Наприклад, якщо якесь тіло важить у воді на 20 % менше, ніж у повітрі, то Wспр − Wпоз = 0,20 × Wспр, тому його густина має бути у 1/0,2 = 5 разів більша за густину води. Тобто його відносна густина дорівнює 5.
У цьому аналізі з водою не пов’язано нічого особливого; якби такі самі вимірювання проводили для якогось тіла, підвішеного в якійсь іншій рідині, то відношення справжньої ваги цього тіла до зменшення його ваги під час підвішування в цій рідині дорівнювало б відношенню густини цього тіла до густини цієї рідини. За цим принципом тіло відомої ваги та об’єму використовують, щоб вимірювати густини різних рідин, у які це тіло занурюють.