10. Площі кіл
Щоб обчислити площу якогось кола, Архімед уявляв собі описаний навколо цього кола багатокутник із великою кількістю сторін. Для простоти розуміння розгляньмо правильний багатокутник, усі сторони та кути якого рівні. Площа цього багатокутника є сумою площ усіх прямокутних трикутників, утворених проведенням ліній від центра до вершин цього багатокутника, а також ліній від центра до середин сторін багатокутника (див. рис. 4, на якому цей багатокутник представлений правильним восьмикутником). Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку двох його катетів, бо два такі трикутники можна скласти по їхніх гіпотенузах, утворивши прямокутник, площа якого дорівнює добутку його сторін (що є катетами таких трикутників). У нашому випадку це означає, що площа кожного трикутника дорівнює половині добутку відстані r до середини сторони (яка є саме радіусом кола) і відстані s від середини сторони до найближчої вершини багатокутника, яка, звісно, дорівнює половині довжини цієї сторони багатокутника. Додаючи всі ці площі, ми знаходимо, що площа всього багатокутника дорівнює добутку половини r на повний периметр багатокутника. Якщо збільшувати кількість сторін багатокутника до нескінченності, його площа наближатиметься до площі вписаного в нього кола, а його периметр наближатиметься до окружності кола. Тому площа кола дорівнює добутку половини його окружності на його радіус.
Рис. 4. Обчислення площі кола. У цьому обчисленні багатокутник з багатьма сторонами описаний навколо кола. Тут багатокутник має вісім сторін, а його площа вже близька до площі кола. Що більша кількість сторін багатокутника, то ближча стає його площа до площі кола.
Говорячи сучасною мовою, ми визначаємо число π = 3,14159… так, що окружність кола з радіусом r дорівнює 2πr. Площа кола, отже, дорівнює
1/2 × r × 2πr = πr2.
Те саме справедливо і для вписаного в коло багатокутника, а не описаного, як зображено на рис. 4. Оскільки це коло завжди розташоване між зовнішнім багатокутником, описаним навколо нього, і внутрішнім багатокутником, вписаним усередину нього, обчислюючи площі багатокутників обох типів, Архімед зміг відобразити верхню та нижню границі для відношення окружності кола до його радіуса, тобто для 2π.
11. Розміри Сонця й Місяця та відстані до них
Арістарх використовував для визначення відстаней від Землі до Сонця й Місяця, а також діаметрів Сонця й Місяця дані чотирьох спостережень, виразивши результати в діаметрах Землі. Розгляньмо кожне з цих спостережень по черзі й подивімося, що можна з них дізнатися. Нехай відстані від Землі до Сонця та Місяця будуть позначені як dс та dм відповідно; а діаметри Сонця, Місяця та Землі як Dс, Dм і Dз. Припустімо, що ці діаметри незначні проти відстаней, тому, міркуючи про відстані від Землі до Місяця або Сонця, можемо не зазначати точки на Землі, Місяці або Сонці, з яких вимірюють відстані.
Спостереження 1
Коли Місяць наполовину повний, то кут між лініями прямої видимості від Землі до Місяця та до Сонця дорівнює 87°.
У цей момент кут між лініями прямої видимості від Місяця до Землі та від Місяця до Сонця має дорівнювати точно 90° (див. рис. 5a), тому трикутник, утворений відрізками Місяць – Сонце, Місяць – Земля та Земля – Сонце, прямокутний, де відрізок Земля – Сонце є гіпотенузою. Співвідношення між катетом, прилеглим до кута θ (тета) прямокутного трикутника, та його гіпотенузою є тригонометричною функцією, яку називають косинусом кута θ (cosθ) і яку ми можемо знайти в таблицях або обчислити самі на науковому калькуляторі. Отже, ми маємо:
dм/dс = cos 87° = 0,05234 = 1/19,11,
тобто, з огляду на спостереження, Сонце в 19,11 раза більш далеке від Землі, ніж Місяць. Не знаючи тригонометрії, Арістарх міг лише зробити висновок, що це число лежить між 19 та 20 (насправді цей кут дорівнює не 87°, а 89,853°, тож Сонце у 389,77 раза більш далеке від Землі, ніж Місяць).
Рис. 5. Чотири спостереження, які використовував Арістарх, щоб обчислити розміри Сонця й Місяця та відстані до них від Землі: a) трикутник, утворений Землею, Сонцем та Місяцем, коли Місяць наполовину повний; б) під час повного сонячного затемнення Місяць точно закриває диск Сонця; в) Місяць заходить у тінь Землі під час місячного затемнення. Сфера, що чітко входить у цю тінь, має вдвічі більший діаметр, ніж у Місяця, а P – це кінцева точка тіні, яку кидає Земля; г) лінії прямої видимості до Місяця охоплюють кут у 2°; фактично цей кут близький до 0,5°.