Спостереження 2
Під час сонячного затемнення Місяць точно закриває видимий диск Сонця.
Це показує, що Сонце та Місяць мають фактично однаковий позірний розмір у тому сенсі, що кут між лініями прямої видимості від Землі до протилежних країв сонячного диска такий самий, як і для Місяця (див. рис. 5б.) Це означає, що трикутники, утворені цими двома лініями прямої видимості та діаметрами Сонця та Місяця, «подібні», тобто вони мають однакову форму. Співвідношення відповідних сторін у подібних трикутників однакові, тому
Dс/Dм = dс/dм.
З огляду на результат спостереження 1, який отримав Арістарх, маємо Dс/Dм = 19,11, тоді як фактичне співвідношення діаметрів Сонця й Місяця насправді близьке до 390.
Спостереження 3
Тінь Землі в місці положення Місяця під час місячного затемнення достатньо широка, щоб умістити сферу з діаметром, удвічі більшим, ніж у Місяця.
Нехай P – це точка, де конус тіні, яку кидає Земля, закінчується (вершина конуса). Тоді ми маємо три подібні трикутники: трикутник, утворений діаметром Сонця та лініями від країв сонячного диска до P; трикутник, утворений діаметром Землі та лініями від країв земного диска до P; і трикутник, утворений подвійним діаметром Місяця та лініями від країв сфери з таким діаметром у місці положення Місяця під час місячного затемнення до P (див. рис. 5 в.) Отже, усі співвідношення відповідних сторін цих трикутників рівні. Припустімо, що точка P розташована на відстані d0 від Місяця. Тоді Сонце розташоване на відстані dс + dм + d0 від P, а Земля розташована на відстані dм + d0 від P, тому
Далі справа за алгеброю. Розв’язавши друге рівняння, можемо знайти d0:
Підставивши цей вираз замість d0 в перше рівняння й помноживши обидві його частини на DзDс (Dз − 2Dм), отримаємо:
(dс + dм) Dз (Dз − 2Dм) = dмDс (Dз − 2Dм) + 2Dмdм (Dс − Dз).
Члени dмDс × (−2Dм) та 2DмdмDс у правій частині в сумі дають 0. Доданки у правій частині мають спільний множник Dз, який скорочується з множником Dз у лівій частині, тож отримаємо таку формулу для Dз:
Dз
Якщо тепер ми використаємо результат спостереження 2, тобто рівність dс/dм = Dс/Dм, можемо виразити Dз тільки через діаметри Сонця та Місяця:
Dз
Якщо ми скористаємось отриманим раніше значенням Dс/Dм = 19,1, це дає Dз/Dм = 2,85. Арістарх наводив діапазон цього значення від 108/43 = 2,51 до 60/19 = 3,16, що навдивовижу має значення 2,85. Фактичним значенням є 3,67. Чому цей результат Арістарха був доволі близький до фактичного значення, попри його дуже погане значення для Dс/Dм? Причина полягає в тому, що на цей результат майже не впливає точність значення Dс, якщо Dс значно більше за Dм. Фактично, якщо ми взагалі знехтуємо членом Dм у знаменнику як мізерним проти Dс, тоді Dс скоротиться в чисельнику та знаменнику, і ми отримаємо просто Dз = 3Dм, що досить близько до справжнього значення.
Значно більшу історичну важливість має такий факт: зі співвідношень Dс/Dм = 19,1 та Dз/Dм = 2,85 можемо вивести, що Dс/Dз = 19,1/2,85 = 6,7. Фактичним значенням є Dс/Dз = 109,1, але важливо те, що результат Арістарха все одно показує, що Сонце набагато більше за Землю. Арістарх підкреслював цю думку, порівнюючи об’єми, а не діаметри; якщо співвідношення діаметрів Сонця й Землі становить 6,7, то співвідношення об’ємів дорівнює 6,73 = 301. Саме це порівняння, якщо вірити Архімедові, привело Арістарха до висновку, що Земля обертається навколо Сонця, а не Сонце навколо Землі.